积分变换与微分方程PPT课件

.,1,第七讲积分变换与微分方程,.,2,积分变换,拉普拉斯变换拉普拉斯变换函数,.,3,函数f(t):拉普拉斯变换为：拉普拉斯逆变换为：,.,4,例1给出t3sint的拉普拉斯变换Mathematica命令为：In1:=LaplaceTransformt3Sint,t,sOut1=上式的逆变换是：In2:=InverseLaplaceTransform%,s,tOut2=t3sint,.,5,拉普拉斯变换的基本特性是可以将微分和积分运算转化为基本的代数运算。比如：In3:=LaplaceTransform,t,sOut3=,.,6,傅立叶变换傅立叶变换函数,.,7,在Mathematica中，函数f(t)的傅立叶变换在默认情况下定义为函数F(w)的逆变换为,.,8,例2给出cos(x2)的傅立叶变换Mathematica命令为：In4:=FourierTransformCost2,t,wOut4=上式的傅立叶逆变换为：In5:=InverseFourierTransform%,w,tOut5=Cost2,.,9,为了避免复杂的指数运算,傅立叶变换中引进了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用Sinwt和Coswt代替傅立叶变换定义中的函数Exp(iwt),而且用积分区间(0,)代替(-,)。例3给出t2exp(-t)的傅立叶正弦和余弦变换Mathematica命令为：In6:=FourierSinTransformt2Exp-t,t,w,FourierCosTransformt2Exp-t,t,wOut6=,.,10,在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。,.,11,例如默认情况下的傅立叶变换为In4:=FourierTransformt2Exp-t2,t,sOut4=以下是纯数学的傅立叶变换In5:=FourierTransformt2Exp-t2,t,s,FourierParameters-1,1Out5=,.,12,微分方程,常微分方程的求解常微分方程的解析解常用格式：DSolveeqn,yx,x求微分方程的解y(x)DSolveeqn,y,x求微分方程的解yDSolveeqn1,eqn2,y1,y2,x求微分方程组的解,.,13,求方程y-y=x的通解Mathematica命令为In6:=DSolveyx-yx=x,yx,xOut6=yx-x2/2x3/6+exC1+C2+xC3求方程组x-y=0，y+x=0的通解Mathematica命令为In7:=DSolvext-yt=0,yt+xt=0,xt,yt,tOut7=xtC1Cost+C2Sint,ytC2Cost-C1Sint,.,14,已知y+y-2y=0,(1)求方程的通解(2)求方程满足初始条件y(0)=4,y(0)=1的特解Mathematica命令为In8:=DSolveyx+yx-2yx=0,yx,xOut8=yxe-2xC1+exC2In9:=DSolveyx+yx-2yx=0,y0=4,y0=1,yx,xOut9=yxe-2x(1+3e3x),.,15,求方程x2y-2xy+2y=3x满足条件y1=m,y1=n的特解Mathematica命令为In10:=DSolvex2*yx-2x*yx+2yx=3x,y1=m,y1=n,yx,xOut10=yx-3x+2mx-nx+3x2-mx2+nx2-3xLogx,.,16,求方程x2y+xy+(x2-n2)y=0的通解Mathematica命令为In11:=DSolvex2*yx+x*yx+(x2+n2)yx=0,yx,xOut11=yxBesselJIn,xC1+BesselYIn,xC2,.,17,常微分方程的数值解常用格式：NDSolveeqn,yx0=y0,yx,x,x0,x1求微分方程eqn在满足初始条件y(x0)=y0的并在xx0,x1的数值解NDSolveeqn1,eqn2,y1x0=y10,y1x,y2x,x,x0,x1求微分方程组在满足初始条件的并在xx0,x1的数值解,.,18,NDSolve以InterpolatingFunction目标生成函数yi的解，InterpolatingFunction目标提供在独立变量x的xmin到xmax范围内求解的近似值。NDSolve用迭代法求解，它以某一个x值开始，尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。为使迭代开始，NDSolve指定yi及其导数为初始条件。初始条件给定某定点x处的yix及尽可能的导数yix，一般情况下，初始条件可在任意x处，NDSolve将以此为起点自动覆盖xmin到xmax的全区域。,.,19,对初始条件y(0)=0和y(1)=0分别求出x从0到1的范围内y(x)=y(x)的解。初始条件y(0)=1In1:=NDSolveyx=yx,y0=0,y,x,0,1Out1=yInterpolatingFunction0.,1.,利用图形观察In2:=s=NDSolveyx=yx,y0=1,y,x,0,1Out2=yInterpolatingFunction0.,1.,In3:=PlotEvaluateyx/.s,x,0,1Out3=,.,20,或PlotEvaluateyx/.NDSolveyx=yx,y0=1,y,x,0,1,x,0,1初始条件y(1)=1In4:=NDSolveyx=yx,y1=1,y,x,0,1Out4=yInterpolatingFunction0.,1.,利用图形观察In5:=PlotEvaluateyx/.NDSolveyx=yx,y1=1,y,x,0,1,x,0,1Out5=,.,21,求方程y+y+x3y=0在区间0,8上满足条件y(0)=0,y(0)=1的特解Mathematica命令为：In10:=s1=NDSolveyx+yx+x3*yx=0,y0=0,y0=1,y,x,0,8;PlotEvaluateyx/.s1,x,0,8Out10=,.,22,求方程y+y=y1/2在区间0,10上满足条件y(0)=0,y(0)=0.5,y(0)=1的特解Mathematica命令为：In11:=s2=NDSolveyx+yx=Sqrtyx,y0=0,y0=0.5,y0=1,y,x,0,10;PlotEvaluateyx/.s2,x,0,10Out11=,.,23,求方程x(t)=y(t),y(t)=-0.01y(t)-sin(x)在区间t0,100上满足条件x(0)=0,y(0)=2.1的特解Mathematica命令为：In12:=s3=NDSolvext=yt,yt=-0.01yt-Sinxt,x0=0,y0=2.1,x,y,t,0,100;ParametricPlotEvaluatext,yt/.s3,t,0,100Out12=,.,24,求方程x(t)=y(t),y(t)=-0.1y(t)-sint在区间t0,100上满足条件x(0)=0,y(0)=2.1的特解Mathematica命令为：In13:=s4=NDSolvext=yt,yt=-0.1yt-Sint,x0=0,y0=2.1,x,y,t,0,100;ParametricPlotEvaluatext,yt/.s4,t,0,100Out13=,.,25,偏微分方程的求解偏微分方程的解析解常用格式：DSolve偏微分方程,未知函数u(x,y),自变量x,y未涉及到定解条件，只能求得通解Mathematica中偏导的定义ux(x,y)=Dux,y,x；uy(x,y)=Dux,y,yuxx(x,y)=Dux,y,x,x；uxy(x,y)=Dux,y,x,yuyy(x,y)=Dux,y,y,y,.,26,一阶偏微分方程的通解求yux+xuy=xy的通解Mathematica命令为In14:=DSolvey*Dux,y,x+x*Dux,y,y=x*y,ux,y,x,yOut14=ux,y1/2(x2+2C11/2(-x2+y2)取C1=x-y,u=1/2(x2+2(x-y)(1/2(-x2+y2)Plot3Du,x,-3,3,y,-4,4,.,27,二阶偏微分方程的通解求uxx-4uyy=9的通解Mathematica命令为In15:=DSolveDux,y,x,x+-4Dux,y,y,y=9,ux,y,x,yOut15=ux,y(9x2)/2+C1-2x+y+C22x+y取C1=x,C2=y,u=(9x2)/2+x(-2x+y)+y(2x+y)Plot3Du,x,-3,3,y,-4,4,.,28,偏微分方程的数值解常用格式：NDSolve偏微分方程，定解条件,u,x,x0,x1,t,t0,t1u为待求函数，x,x0,x1指明自变量x的范围，t,t0,t1指明自变量t的范围,.,29,求弦振动方程uxx-4utt=0满足以下定解条件的特解边界条件：u(0,t)=0,u(,t)=0初始条件：u(x,0)=sinx,ut(x,0)=0Mathematica命令为In21:=NDSolveDux,t,x,x-4Dux,t,t,t=0,u0,t=0,uPi,t=0,ux,0=Sinx,Derivative0,1ux,0=0,u,x,0,Pi,t,0,60Out21=uInterpolatingFunction0.,3.14159,0.,60.,.,30,利用上面所得数值结果，可以绘制u=ux,t的图形如下：Plot3DEvaluateux,t/.First%,x,0,Pi,t,0,60,PlotPoints20,.,31,求热传导方程ut=uxx满足以下定解条件的特解边界条件：u(0,t)=0,u(2,t)=0初始条件：u(x,0)=x(2-x)Mathema