（试题 试卷 真题）第13讲 轨迹方程

第13讲 轨迹方程一、考点要求1求平面曲线（整体或部分）的方程（或轨迹）是近几年高考中的热点之一2掌握求曲线的轨迹方程常用的一些思想方法，同时也要注意检验轨迹的完备性及纯粹性二、基础过关1坐标满足方程的的轨迹是（ B ）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D两条直线2以原点为焦点，相应准线为的椭圆短轴端点的轨迹方程是 3一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹是（ C ）A抛物线 B圆 C双曲线的一支 D椭圆4O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+（），0，+），则P点的轨迹一定通过ABC的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心5椭圆中斜率为1的平行弦中点的轨迹方程是 x+4y=0（椭圆内部的线段）6已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆都外切则动圆圆心的轨迹是 以点M1、M2为焦点，焦距长为8，实轴长为4的双曲线的右支三、典型例题例1 已知双曲线，且双曲线上存在关于直线l：y=kx+4对称的两点A、B，如图所示，求实数k的取值范围，并求AB的中点M的轨迹方程解：当k=0时，显然不合题意；当k0时，由题设直线AB的方程为，由得， 设两对称点A、B的中点为，则， 在直线l上，即， 把代入，得，解得b0或b-1，或，即或且k0，将代入，得，中点M的轨迹方程为，故当时，双曲线上存在关于直线l对称的点，且其中点的轨迹方程为例2 已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值2a（a），且cosF1PF2的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围解：（1）由题意知，设|PF1|+|PF2|=2a（a），由余弦定理得 又|PF1|PF2|，当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|PF2|取最大值，此时cosF1PF2取最小值令=，c=，故所求P的轨迹方程为（2）设，则由=，可得，故，M、N在动点P的轨迹上，故且，消去s得，解得，又，解得故的取值范围是，5例3 设两异面直线a、b成60角，它们的公垂线段EF长为2，今以长为4的线段AB两端点A、B分别在a、b上运动，试求AB中点P的轨迹解： 作EF的中垂面，设交EF于O，易知P，且易得AB在内的射影|CD|=2，COD=60，在内以O为原点，COD的平分线为x轴建立平面直角坐标系（如右图），设|OC|=，|OD|=，由中点坐标公式得P（x，y）的参数方程 又|CD|=2， 将代入并整理得P点轨迹的普通方程为故P点的轨迹是EF的中垂面上以O点为中心的椭圆四、热身演练1已知M（-2，0），N（2，0），|PM|PN|=4，则动点P的轨迹是（ C ）A双曲线 B双曲线左支 C一条射线 D双曲线右支2过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=的椭圆的左顶点的轨迹方程为 3（2004年天津）如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC，那么，动点C在平面内的轨迹是（ B ） A一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点4已知圆O的方程是，则过点A（1，2）所作的圆的弦的中点P的轨迹方程是 5已知两个定点A（-a，0），B（a，0）（a0），动直线l1，l2分别绕A点，B点转动，并保持l1到l2的角为45，则l1与l2的交点轨迹是（ D ）A一条直线B两条相交直线C两条平行直线D一个圆6若ABC的两个顶点B、C的坐标分别是（-1，0）和（2，0），而顶点A在直线y=x上移动，则ABC的重心G的轨迹方程是( C ) A B C D7ABC的顶点为A（-5，0），B（5，0），ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（ C ）A B C D 8到定点F（5，0）和定直线x=的距离之比为的动点的轨迹方程是 9在ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且|AC|、|AB|、|BC|成等差数列，则C点轨迹方程是 10已知点P是双曲线上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ的中点的轨迹方程为 11已知抛物线C：，O为坐标原点，动直线l：与抛物线C交于A，B两点，求满足=+的点M的轨迹方程解：由，得，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设M（x，y），=+，（x，y）=（x1+x2，y1+y2），则消去k得y2=4x+8，又，故y2=4x+8（x2）为所求12由椭圆上任一点B向x轴作垂线，垂足为A，点P分线段AB所成的比为（-1，0），（1）求点P的轨迹方程；（2