2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质讲义新人教A版.docx

24.2抛物线的简单几何性质1抛物线的简单几何性质2.焦半径与焦点弦说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦设抛物线上任意一点P (x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦|AB|AB|x1x2p|AB|px1x2|AB|y1y2p|AB|py1y23.通径说明：此部分为拓展内容，大纲无要求通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示对于抛物线y22px(p0)，由A，B，可得|AB|2p，故抛物线的通径长为2p.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线()(3)抛物线是轴对称图形()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_(2)已知点(2,3)与抛物线y22px(p0)的焦点的距离是5，则p_.(3)抛物线y2px2(p0)的对称轴为_(4)(教材改编P72T3)过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_答案(1)x216y(2)4(3)y轴(4)16解析(4)由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2.代入y28x，得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦长x1x2p12416.探究1抛物线的简单几何性质例1(1)已知抛物线y28x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解(1)抛物线y28x，p4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(2)椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.拓展提升与抛物线几何性质相关问题的求解策略(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解【跟踪训练1】如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.解(1)如图，设ABx轴于E，则由AB2得E(，0)，A(，1)设抛物线方程为y22px(p0)，则12p，2p.抛物线方程为y2x.(2)由(1)知2p，抛物线的准线方程为x，焦点坐标为，离心率e1.探究2抛物线的焦点弦问题例2已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为.求证：(1)|AB|2；(2)|AB|；(3)x1x2，y1y2p2；(4)为定值；(5)SAOB.证明(1)x1x22x0，|AB|x1x2p2.(2)()当90时，设直线AB的方程为yk(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0，x1x2p.又ktan，代入|AB|x1x2p，得|AB|pp.()当90时，直线AB的方程为x，此时|AB|2p，也满足|AB|，综上，|AB|.(3)由(2)得x1x2(定值)yy4p2x1x2p4.y1y20)其焦点F的坐标为.SAOBSAOFSBOF|OF|AF|sin()|OF|BF|sinsin|AB|.由(2)知，|AB|，SAOB.拓展提升抛物线焦点弦问题的求解方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算 【跟踪训练2】已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.探究3抛物线中的定值、定点问题例3已知抛物线x22py(p0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A，C在第一象限)，且M，N分别是AB，CD的中点(1)若ABCD，求FMN面积的最小值；(2)设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC4kBD0，求证：直线AC过定点，并求此定点解(1)抛物线的方程为x22y，设AB的方程为ykx，联立得x22kx10，M，同理N，SFMN|FM|FN| 1.当且仅当k1时，FMN的面积取最小值1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，AB的方程为ykx，联立得x22kx10，x1x21，同理，x3x41，故kAC4kBD44(x1x3)2(x2x4)(x1x3)2(x1x3)0.注意到点A，C在第一象限，x1x30，故得x1x34，直线AC的方程为y(xx1)，化简得yx即yx2.所以直线AC恒经过点(0，2)拓展提升直线与抛物线位置关系的判断方法判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项的系数是否为0.另外，在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解此类问题的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线【跟踪训练3】如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，即直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值探究4与抛物线有关的最值问题例4求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离解设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离d2.当t时，d有最小值.解法探究此题有没有其他解法呢？解如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0(m8)，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.拓展提升解决与抛物线有关的最值问题的思路求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决【跟踪训练4】如图，已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且AOB90.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值解(1)证明：显然直线OA存在斜率且不等于0.设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB的方程为yx.由解得或即A点的坐标为.同理，由解得B点的坐标为(2k2，2k)AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2.不论实数k取何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线过定点P(2,0)(2)A，B所在直线过定点P(2,0)，所以可设A，B所在直线的方程为xmy2.由消去x并整理得y22my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22m，y1y24.于是|y1y2|2.SAOB|OP|(|y1|y2|)|OP|y1y2|222.当m0时，AOB的面积取得最小值4.探究5直线与抛物线的位置关系 例5已知抛物线C：y22x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？解直线l：y1k(x1)，将x代入整理得，ky22y2k20.(1)k0时，把y1代入y22x得，x，直线l与抛物线C只有一个公共点.(2)k0时，44k(2k2)8k28k4.由0得，k，当k时，0，l与C无公共点当k时，0，l与C有且只有一个公共点当k0，l与C有两个公共点综上知，k时，l与C无公共点；k或k0时，l与C只有一个公共点；k0或0k0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2bxc0，若a0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)上任一点A(x1，y1)，焦点F，则|AF|x1，这就是焦半径公式若直线AF交抛物线另一点B(x2，y2)由焦半径公式得|AB|x1x2p. 4.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23y By26xCx212y Dx26y答案C解析因为顶点在原点，对称轴是y轴，则开口向上或向下，由3，得p6.故方程为x22py12y.2抛物线x28y的通径为线段AB，则AB长是()A2 B4 C8 D1答案C解析抛物线x28y，通径为|8|8.故选C.3已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A2 B1 C4 D8答案C解析抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.故选C.4抛物线yax21与直线yx相切，则a等于_答案解析由消y得ax2x10.直线yx与抛物线yax21相切，方程ax2x10有两相等实根判别式(1)24a0，a.5已知抛物线的顶点在坐标