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第一章:解三角形,1.1.1正弦定理及其应用,1.问题的引入:,.,某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）,思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系,Rt中,思考：对于一般三角形，上述结论是否成立,在锐角三角形中，,在钝角三角形中，,由以上三种情况的讨论可得：,正弦定理：,思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理”,在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即,思考：用“三角形面积公式”如何证明“正弦定理”,而,同理,ha,正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即,变形：,小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,定理的应用举例,例1,例2、,在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，解三角形（角度精确到1边长精确到1cm）,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？,（3）b20，A60，a15.,B30或150，,15060180，,B150应舍去.,B90.,（3）b20，A60，a15.,无解.,已知边a,b和角，求其他边和角,为锐角,为直角或钝角,（2R为ABC外接圆直径）,证明：,正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即,含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角,定理结构特征:,1.1.1正弦定理,剖析定理、加深理解,1、A+B+C=,2、大角对大边，大边对大角,剖析定理、加深理解,3、正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知两角和一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角,剖析定理、加深理解,4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,剖析定理、加深理解,5、正弦定理的变形形式,6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,A,C,a,b,absinA,无解,A,C,a,b,a=bsinA,一解,A,C,a,b,bsinAab,两解,B,B1,B2,B,A,C,b,a,一解,a,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a
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