高中数学 3.1.1《变化率与导数》课件 新人教A选修1

3.1变化率与导数,教学目标,了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵,变化率问题,问题1气球膨胀率,问题2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是,引导：,这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？引入气球平均膨胀率的概念,当空气容量从增加时，半径增加了,r(1)r(0)=0.62,当空气容量从加时，半径增加了,r()r()=0.,探究活动,气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率,设某个变量f随x的变化而变化，,从x经过x，量f的改变量为,量f的平均变化率为,平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度瞬时速度,2瞬时速度,平均速度的概念,这段时间内汽车的平均速度为,已知物体作变速直线运动，其运动方程为ss(t)(表示位移，t表示时间)，求物体在t0时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0，在时刻t0+Dt的位置是s(t0+Dt)OA1，则从t0到t0+Dt这段时间内，物体的位移是,在时间段(t0+Dt)t0=Dt内，物体的平均速度为:,要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt这段时间内，当Dt0时平均速度,的极限即,例物体作自由落体运动，运动方程为：，其中位移单位是m，时间单位是s，g=9.8m/s2求：(1)物体在时间区间2，2.1上的平均速度；(2)物体在时间区间2，2.01上的平均速度；(3)物体在t=2时的瞬时速度.,(1)将Dt=0.1代入上式，得,(2)将Dt=0.01代入上式，得,瞬时速度,高台跳水,高台跳水,导数的概念,一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是,导数的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。,设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量y=f(x0+x)-f(x0)，若y与x之比当x0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为。,即,例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?,同理，,运动员在时的瞬时速度为，,上升,下落,这说明运动员在附近，正以大约的速率。,你能借助函数的图象说说平均变化率,表示什么吗？请在函数,图象中画出来,割线AB的的变化情况,在,的过程中，,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗？,3.1.1导数的几何意义,的切线方程为,即,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。,大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）,1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.,(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,增（减):,增（减）快慢：,=切线的斜率,附近：,瞬时,变化率,（正或负）,即：瞬时变化率（导数）,（数形结合，以直代曲）,画切线,即：导数,的绝多值的大小,=切线斜率的绝对值的大小,切线的倾斜程度（陡峭程度）,以简单对象刻画复杂的对象,(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在处切线的斜率0在附近，曲线，函数在附近单调,如图，切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度，,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在附近比在附近得迅速,递减,下降,小于,下降,2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1),血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示,曲线在该点处的切线的斜率.,函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）,以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括：,是确定的数,是的函数,导函数的概念：,小结：.函数在处的导数的几何意义，就是函