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杨辉三角和二项式系数性质,酒泉市肃州区油田外国语高级中学李世哲,开始,课题,数学史杨辉三角及规律二项式系数的性质例题1例题2练习总结,九章算术,杨辉,回首页,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,回首页,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,11,121,1331,14641,15101051,1615201561,回首页,杨辉三角,点击图片可以演示“杨辉三角”课件,回首页,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当时，其图象是右图中的7个孤立点,回首页,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,回首页,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以相对于的增减情况由决定,回首页,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当时，,回首页,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,回首页,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,回首页,例1证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,赋值法,=2n-1,回首页,例2.已知（12x）7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求:（1）a1+a2+a7;（2）a1+a3+a5+a7;（3）a0+a2+a4+a6.,（12x）7=a0+a1x+a2x2+a7x7令x=1,得a0+a1+a2+a7=1令x=0得a0=1a0+a1+a2+a7=2（2）令x=1,得a0a1+a2a3+a6a7=37=2187由上式得a1+a3+a5+a7=-1094a0+a2+a4+a6=1093,回首页,练习：,已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(1)求a0；(2)求a1+a2+a3+a4+a5；(3)求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2;(4)求a1+a3+a5；(5)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；答案：（1）1（2）-2（3）-35（4）-122（5）35,回首页,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系
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