苏教高一数学等差数列 新课标

等差数列,1.第24届到第29届奥运会举行的年份依次为:1988,1992,1996,2000,2004,2008.,2.某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费从小到大的次序依次为:0.2,0.2+0.1,0.2+0.12,0.2+0.13,.,观察上面的数列有什么共同的特点?,问题情景（一）:,4.被7除余1的自然数：,1，8，15，22，29，36，,从第二项起，后一项与前一项的差是4。,一、等差数列的定义：,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。,这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。,数学语言：an-an-1=d（d是常数，n2，nN*）,当d0时,等差数列是一个单调递增数列;,当d0时,等差数列是一个单调递减数列.,当d=0时,等差数列是一个常数列;,或an+1an=d,（d是常数）,例1：判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差(1)1,1,1,1,1,.(2)4,7,10,13,16.(3)-3,-2,-1,1,2.(4)1,0,1,0,1.,（1）所给数列是首项为1，公差为0的等差数列；,（2）所给数列是首项为4，公差为3的等差数列；,解：,小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？,是,不是,不是,练习一,判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。,（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，,（6）15，12，10，8，6，,是,是,是,a1=1,d=2,a1=9,d=-3,a1=-8,d=2,a1=3,d=0,例2:求出下列等差数列中的未知项.(1)3.a,5(2)3,b,c,-9,解：,解得a=4,练习：P343,通项公式：,递推公式：,18,19,20,21,22,23,24,（其中a1=18）,问题情景（二）:,问题情景（三）:,观察数列：1，3，5，7，,思考：在数列中a100=？我们该如何求解呢？,等差数列通项公式的猜测,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有：a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d,an=a1+(n-1)d,问an=?通过观察：a2，a3，a4都可以用a1与d表示出来；a1与d的系数有什么特点？,当n=1时，上式也成立。,猜测：,等差数列的通项公式：首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式:,证:因为an为等差数列,a2a1=d,a3a2=d,anan-1=d,将上面n-1个等式的两边分别相加,当n=1时,上面的等式显然成立.,叠加法,所以当n2时,有,an=a1+(n1)d.,得ana1=(n-1)d,所以,an=a1+(n-1)d,a1、an、n、d知三求一,an=am+(n-m)d(n,mN*),变形,例题,例3：（1）求等差数列8，5，2，的第20项；（2）判断-401是不是等差数列5,-9,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.,解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11a20=11-320=-49,分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。,(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100-401是这个数列的第100项。,练习二,（1）求等差数列3,7,11的第4项与第10项；（2）判断100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,解：（1）根据题意得：a1=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=4n-1a4=44-1=15,a10=410-1=39.,（2）由题意得：a1=2,d=9-2=16-9=7这个数列的通项公式是：an=2+(n-1)7=7n-5(n1)令100=7n-5,得n=15100是这个数列的第15项。,课堂小结,1.等差数列