非线性物理12(单摆、庞加莱映射)

第一章非线性振动初步,1,第三节受迫振荡1线性单摆的受迫振动2.庞加莱截面3.初识单摆的复杂运动,2,驱动单摆方程驱动力写成指数这是非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和它的一个特解的和1.齐次方程的通解:类似线性阻尼单摆，得：,小摆角驱动单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),3,2.非齐次方程的特解:设求导：消去公因子,代入,小摆角驱动单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),4,代入r、j以后特解为：非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分衰减过程常称为过渡过程。,小摆角驱动单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),5,谐振特性,研究幅频特性：将分母根号下对频率求导并令其等于零：共振频率nr小于系统自振频率w，共振时的最大振幅为：共振时最大振幅与阻尼有关,共振频率,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),6,庞加莱截面与庞加莱映射,相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。在n维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。人们将这种把时间上的连续运动转变为离散的图象处理方法称为庞加莱映射。,2.庞加莱映射,7,单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,2.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,8,2.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,9,单摆的三维相空间,2.庞加莱映射,阻尼单摆的运动方程引入新变量,即相位：可得到描述单摆运动的三维相空间,相角j有周期性，把2np和2(n+1)p平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。,10,单摆的三维相空间,2.庞加莱映射,11,它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不停地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。,受驱转子的运动,2.庞加莱映射,12,3.初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,阻尼单摆方程为：小驱动力作用作小幅度振动,13,3.初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,14,3.初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆的相轨线方程是椭圆方程。说明：1.在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线2.说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。3.驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩F增大而增大，(即摆角在增大)。,小驱动力单摆,15,3.初识单摆的复杂运动,随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的增大，使得sin的小摆角近似已不再适用,相轨线的表达式将无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算来求得。,数值计算结果,下面将给出当1/4，v2/3为定值时，F由小到大取一系列数值时的数值计算结果。,16,3.初识单摆的复杂运动,1.附近出现对称性破缺a.小摆角的对称椭圆在附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺；b.蛋形的朝向与相角的取值有关；c.这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。,数值计算结果,17,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,18,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,19,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,2F=1.093附近做准周期运动：a.当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭合的单周期轨道，复杂化起来。b.在F=1.093时相图上，相轨线虽在-p,p的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态。c.在庞加莱截面上，相点处于一条曲线上，可以认定系统处于准周期状态（接近正确的周期运动）。d.庞加莱截面上的图形与所取截面的位置(即相角)有关。,20,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,21,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3.F=1.15附近进入混沌状态a.运动已扩展到势谷()两侧的势谷内。b.运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上几圈，往复不已。c.在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。,22,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,23,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,24,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,25,3.初识单摆的复杂运动,数值计算结果,26,3.初识单摆的复杂运动,结论,综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：(1)在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。(2)混沌状态并不是混乱一片。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以