湖南高三数学求二面角课件 人教

(习题课),二面角,l,从空间一直线出发的两个半,一、二面角的定义,二、二面角的平面角,l,l,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,例1如图P为二面角l内一点，PA于点A,PB于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,设l与平面PAB相交于点O,PA,PBPAl,PAl,l平面PAB,连结AO、BO,则AOB为二面角l的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,APB=60AOB=120,这二面角的度数为120,解：,A,B,P,l,O,小结一,一.求二面角大小的一般步骤,找(作)二面角的平面角,证明所作角为二面角的平面角,求二面角的平面角,找,证,求,二.依据定义求二面角的平面角,P,l,A,B,O,例2如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60BPM=BPN=45，求此二面角的度数。,A,B,P,M,N,C,D,O,解：,在PB上取不同于P的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO=a，BPM=BPN=45,又MPN=60,CD=PCa,COD=90,因此，二面角的度数为90,小结二,三.双垂线法求二面角的平面角,A,B,l,P,O,A,B,P,C,取AB的中点为E，连PE，OE,O为AC中点，ABC=90,OEBC且OEBC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C的正切值为,例3如图，RtABC所在平面外一点P在面ABC上的射影是RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C的平面角,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,OEAB，因此PEAB,E,解：,l,P,A,B,小结三,四.三垂线法求二面角的平面角,A,B,C,O,三角形ABC在面内的射影为BCO,三角形ABC的面积为S原，三角形BCO的面积为S射,则,射影面积公式,设为所求二面角的大小，S为二面角的一个面内的平面图形的面积，S为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图,已知二面角,设它的大小为,l,A,B,C,D,A1,C1,D1,E,B1,M,例4如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。,G,AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为,F,小结四,五.射影法求二面角的平面角,设为所求二面角的大小，S原为二面角的一个面内的平面图形的面积，S射为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图（2），设二面角的大小为,利用向量法求二面角的平面角,方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。,D,C,l,B,A,则二面角的大小,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,l,法向量法,如图，向量,例5如图,PA平面ABC，,求二面角的大小,A,B,C,D,A1,C1,D1,B1,E,例6如图，在长方体AC1中,点E在棱AB上移动,AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值时，二面角的大小为,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.ABPB.ACPC.都不是,练习,2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,60,V,A,B,C,3.空间四边形VABC的各边及对角线均相等，求二面角的大小,4.如图，空间三条直线PA、PB、PC，APC=APB=60，BPC=90，求二面角BPAC的大小.,B,C,A,P,4.如图，在ABC中，ADBC于D，E是线段AD上一点，且AE=ED，过E作MNBC，且MN交AB于M，交AC于N，以MN为棱将AMN折成二面角AMND，设此二面角为（0），连结AB、AD、AC，求AMN与ABC所夹二面角的大小.,A,B,C,D,E,N,M,A,M,N,E,B,D,C,课堂小结,一.求二面角的平面角的常用方法,二.降维思想将空间角转化为平面角,例1在三棱锥A-BCD中，侧面ABC底面BCD，ABBCBD1，CBACBD120。，求二面角A-BD-C的大小。,同学们思考以下问题:,1.由已知条件怎样找垂线?2.通过垂线怎样找二面角的平面角.,观察总结:图中的红色部分有什么特点?,E,G,分析:利用三垂线定理寻找二面角的平面角,关键是如何在一个半平面找一个点,向第二个半平面做垂线,往往要结合所给的几何体,找垂直关系。,由于AB平面AD1,BD1在平面AD1上的射影为AD1，过点P作PFAD1于F,则PF平面ABD1,过F作FEBD1于E，连结PE，PEF即为二面角A_BD1_P的平面角。,例2.如图示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求二面角的大小.,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,P,F,E,观察总结:计算在哪个图形中进行的?,练习1：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC,SASC,M为AB的中点证明ACSB;求二面角S-CM-A的大小.,分析：证明线线垂直的思路如何？用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？,S,A,B,C,M,E,F,思考:1.怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面的垂线?2.在垂线的基础上怎样找二面角的平面角?,练习2:三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA3，AC4，PBPCBC,求二面角A-PC-