信号与系统(习题课)

习题课,SignalsandSystems,第2章信号的时域分析第3章系统的时域分析第4章周期信号的频域分析第5章非周期信号的频域分析第6章系统的频域分析,信号与系统习题课,2-1定性绘出下列信号的波形,(1),f(t)=u(t)-2u(t-1),u(t),-2u(t-1),2-1定性绘出下列信号的波形,(2),f(t)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1),u(t+1),-2u(t),u(t-1),2-1定性绘出下列信号的波形,(2),f(t)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1),另一种思路：,f(t)=u(t+1)-u(t)-u(t)-u(t-1),u(t+1)-u(t)=?,u(t)-u(t-1)=?,-u(t)-u(t-1)=?,2-1定性绘出下列信号的波形,(4),f(t)=d(t-1)-2d(t-2)+d(t-3),(1),(-2),(1),2-2定性绘出下列信号的波形,(1),f(t)=u(t)u(3-t),u(t),u(3-t)=u-(t-3),2-2定性绘出下列信号的波形,(1),f(t)=u(t)u(3-t),2-2定性绘出下列信号的波形,(3)f(t)=e-2tsin(2t)u(t),e-2t,sin(2t),e-2tsin(2t)u(t),2-2定性绘出下列信号的波形,(3)f(t)=e-0.5tsin(2t)u(t),e-0.5t,e-0.5tsin(2t)u(t),2-2定性绘出下列信号的波形,(5)f(t)=(t-2)u(t),2-4利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号,=(t+2)u(t+2)-tu(t)-2u(t-2),(a),2-4利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号,(b),u(t+3)u(3-t),u(t+2)u(2-t),u(t+1)u(1-t),f(t)=u(t+3)u(3-t)+u(t+2)u(2-t)+u(t+1)u(1-t),=u(t+3)-u(t-3)+u(t+2)-u(t-2)+u(t+1)-u(t-1),2-4利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号,(c),f(t)=2u(t-1)u(2-t)-u(t-2)u(3-t)+u(t-3)u(4-t),=2u(t-1)-u(t-2)-u(t-2)-u(t-3)+u(t-3)-u(t-4),=2u(t-1)-3u(t-2)+2u(t-3)-u(t-4),2-5写出下列信号的时域表达式,(a),f(t)=tu(t)-u(t-1)+u(t-1),或者f(t)=tu(t)u(1-t)+u(t-1),2-5写出下列信号的时域表达式,(c),f(t)=-tu(t+1)-u(t)+tu(t)-u(t-1),=-tu(t+1)u(-t)+tu(t)u(1-t),2-5写出下列信号的时域表达式,(e),f(t)=u(t+1)-u(t)+(1-2t)u(t)-u(t-1)-u(t-1),f(t)=u(t+1)u(-t)+(1-2t)u(t)u(1-t)-u(t-1),2-10已知信号波形,绘出下列信号波形,f(-t),f(t+2),f(-3t),2-10已知信号波形,绘出下列信号波形,f(-t),f(5-3t),f(-3t),连续LTI系统的响应,经典时域分析方法,全解齐次解特解,卷积法,完全响应零输入响应零状态响应,齐次解中0-时刻对应的分量,卷积积分,固有响应,强迫响应,例题：简单RC电路,已知f(t)=(1+e3t)u(t)初始条件uC(0-)=1V求uC(t)。解：根据电容电流iC(t)=CduC(t)/dt得微分方程uC(t)+uC(t)=f(t)特征方程s+1=0得特征根s1=1,(1)零输入响应（与齐次解形式相同）uCx(t)=K1et根据初始条件uC(0-)=1V得到K1=1，即零输入响应uCx(t)=et(2)冲激响应h(t)=Aetu(t)代入原微分方程Aetu(t)+Aetd(t)+Aetu(t)=d(t)解得A=1，即h(t)=etu(t),(3)零状态响应uCf(t)=f(t)*h(t),=(e0-1/2e3t)-(et-1/2et)=(1-1/2et-1/2e3t)u(t)(4)完全响应=零输入响应+零状态响应uC(t)=uCx(t)+uCf(t)=etu(t)+(1-1/2et-1/2e3t)u(t),(3)零状态响应uCf(t)=f(t)*h(t),齐次解uCh(t)=K1et特解uCp(t)=A+Be3t特解代入原微分方程3Be3t+A+Be3t=1+e3t解得A=1，B=-1/2特解uCp(t)=11/2e3t全解(完全响应)=齐次解+特解uC(t)=K1et+(11/2e3t),【采用经典法：】,根据初始条件uC(0+)=uC(0-)=1V得到K1+11/2=1，即K1=1/2全解uC(t)=1/2et+(11/2e3t),齐次解（固有响应）,特解（强迫响应）,比较：完全响应=零输入响应+零状态响应=et+(1-1/2et-1/2e3t),习题3-4,已知微分方程为y(t)+3y(t)=f(t)，t0;y(0)=1，求系统的固有响应(齐次解)yh(t)、强迫响应(特解)yp(t)和完全响应(全解)y(t),解：系统特征方程为s+3=0,解得特征根s=-3齐次解的形式为yh(t)=Ke-3t,(1)当输入f(t)=u(t)时，特解形式为yp(t)=A代入原方程，得A=1/3，即yp(t)=1/3全解y(t)=yh(t)+yp(t)=Ke-3t+1/3根据初始条件有y(0)=K+1/3=1,得K=2/3y(t)=2/3e-3t+1/3,(2)当f(t)=e-tu(t)时，特解形式为yp(t)=Ae-t代入原方程,得A=1/2,即yp(t)=e-t全解y(t)=yh(t)+yp(t)=Ke-3t+e-t根据初始条件有y(0)=K+1/2=1,得K=1/2y(t)=e-3t+e-t,(3)当f(t)=e-3tu(t)时，因为特征根s=-3特解形式为yp(t)=Ate-3t代入原方程,得A=1,即yp(t)=te-3t全解y(t)=yh(t)+yp(t)=Ke-3t+te-3t根据初始条件有y(0)=K=1,y(t)=e-3t+te-3t=(1+t)e-3t,习题3-6(1),已知系统的微分方程为y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+5f(t),t0;初始状态y(0-)=1，y(0-)=5，求系统的零输入响应yx(t)。,解：系统特征方程为s2+5s+4=0,解得特征根s1=-1,s2=-4,零输入响应与齐次解的形式相同：yx(t)=K1e-t+K2e-4t根据初始状态，有y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y(0-)=yx(0-)=-K1-4K2=5解出K1=3,K2=-2零输入响应为yx(t)=3e-t-2e-4t,习题3-6(2),已知系统的微分方程为y(t)+4y(t)+4y(t)=3f(t)+2f(t),t0;初始状态y(0-)=-2，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,解：系统特征方程为s2+4s+4=0,解得特征根s1=s2=-2,零输入响应与齐次解的形式相同：yx(t)=(K1+K2t)e-2t根据初始状态，有y(0-)=yx(0-)=K1=-2y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3解出K1=-2,K2=-1零输入响应为yx(t)=(-2-t)e-2t,习题3-7(1),已知连续时间LTI系统的微分方程为y(t)+3y(t)=f(t),t0;求系统在输入激励f(t)=e-3tu(t)作用下系统的零状态响应yf(t)。,解:(1)系统特征方程为s+3=0,解得特征根s=-3,且满足nm,冲激响应与齐次解的形式相同：h(t)=Ke-3tu(t)代入原微分方程，有Ke-3td(t)-3Ke-3tu(t)+3Ke-3tu(t)=d(t)即Ke-3td(t)=d(t)利用冲激函数的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)得Kd(t)=d(t)，即K=1,冲激响应h(t)=e-3tu(t)(2)当输入f(t)=e-3tu(t)时，零状态响应为yf(t)=h(t)*f(t)=te-3tu(t),习题3-7(5),已知连续时间LTI系统的微分方程为y(t)+4y(t)+3y(t)=f(t),t0;求系统在输入激励f(t)=e-2tu(t)作用下系统的零状态响应yf(t)。,解：(1)系统特征方程为s2+4s+3=0,解得特征根s1=-1,s2=-3,且满足nm,冲激响应与齐次解的形式相同：h(t)=(K1et+K2e3t)u(t)代入原微分方程，有(K1e-t+K2e-3t)d(t)+2(-K1e-t-3K2e-3t)d(t)+(K1e-t+9K2e-3t)u(t)+4(K1e-t+K2e-3t)d(t)+(-K1e-t-3K2e-3t)u(t)+3(K1e-t+K2e-3t)u(t)=d(t)化简得(K1e-t+K2e-3t)d(t)+(2K1e-t-2K2e-3t)d(t)=d(t),利用冲激函数的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)以及f(t)d(t)=f(0)d(t)-f(0)d(t)得(K1+K2)d(t)+(K1+3K2+2K1-2K2)d(t)=d(t)即K1+K2=0，3K1+K2=1K1=，K2=-冲激响应h(t)=(1/2e-t-1/2e-3t)u(t)(2)当输入f(t)=e-2tu(t)时，零状态响应为yf(t)=h(t)*f(t)=(1/2e-t+1/2e-3t-e-2t)u(t),习题3-8(1),已知系统微分方程为y(t)+5y(t)+4y(t)=f(t)+2f(t)，t0f(t)=u(t),y(0-)=2,y(0-)=4求零输入响应、零状态响应和完全响应。解：特征方程s2+5s+4=0得特征根s1=1，s2=4,yx(t)=K1et+K2e4t根据初始状态，有y(0-)=yx(0-)=K1+K2=2y(0-)=yx(0-)=-K1-4K2=4解出K1=4,K2=-2，零输入响应为yx(t)=4et2e4t,(1)求零输入响应(与齐次解形式相同),(2)求冲激响应(与齐次解形式相同),h(t)=(Aet+Be4t)u(t)代入原微分方程y(t)+5y(t)+4y(t)=f(t)+2f(t)(Aet+Be4t)d(t)+(3Aet3Be4t)d(t)=d(t)+2d(t)利用冲激信号的筛选特性：,f(t)d(t)=f(0)d(t)-f(0)d(t)f(t)d(t)=f(0)d(t)得到(A+B)d(t)-(-A-4B)d(t)+(3A-3B)d(t)=d(t)+2d(t)即A+B=1,4A+B=2,解得A=1/3,B=2/3,冲激响应h(t)=(1/3et+2/3e4t)u(t),(3)求零状态响应yf(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),y(t)=yx(t)+yf(t)=(4et2e4t)u(t)+(-1/3et1/6e4t+1/2)u(t)=(11/3et13/6e4t+1/2)u(t),(4)完全响应=零输入响应+零状态响应,齐次解的形式为yh(t)=A1et+A2e4t求特解：由yp(t)=A34A3=2A3=1/2全解为y(t)=yh(t)+yp(t)=A1et+A2e4t+1/2,【采用经典法：】,如果y(0+)=y(0-),y(0+)=y(0-)根据初始状态，有y(0+)=A1+A2+1/2=2y(0+)=-A1-4A2=4解出A1=10/3,A2=-11/6，全解为y(t)=10/3et11/6e4t+与卷积法结果不同！,取初值y(0+)=y(0-)=2,y(0+)=5,根据初始状态，有y(0+)=A1+A2+1/2=2y(0+)=-A1-4A2=5解出A1=11/3,A2=-13/6，全解为y(t)=11/3et13/6e4t+与卷积法结果相同！,习题3-8(2),已知系统微分方程为y(t)+4y(t)+4y(t)=3f(t)+2f(t)，t0f(t)=e-tu(t),y(0-)=-2,y(0-)=3求零输入响应、零状态响应和完全响应。解：特征方程s2+4s+4=0得特征根s1=s2=2，且满足nm,yx(t)=(K1+K2t)e-2t根据初始状态，有y(0-)=yx(0-)=K1=-2y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3解出K1=-2,K2=-1零输入响应为yx(t)=(-2-t)e-2t,(1)求零输入响应(与齐次解形式相同),(2)求冲激响应(与齐次解形式相同),h(t)=(A+Bt)e-2tu(t)代入原微分方程y(t)+4y(t)+4y(t)=3f(t)+2f(t)(A+Bt)e-2td(t)+2(-2A-2Bt+B)e-2td(t)+(4A+4Bt-4B)e-2tu(t)+4(A+Bt)e-2td(t)+(-2A-2Bt+B)e-2tu(t)+4(A+Bt)e-2tu(t)=d(t)+2d(t),即(A+Bt)e-2td(t)+2Be-2td(t)=3d(t)+2d(t)利用冲激信号的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)-f(0)d(t)f(t)d(t)=f(0)d(t),得到:Ad(t)-(-2A+B)d(t)+2Bd(t)=3d(t)+2d(t)即A=3,-(-2A+B)+2B=2,解得A=3,B=-4冲激响应h(t)=(34t)e2tu(t),(3)求零状态响应yf(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),习题3-11,已知连续时间LTI系统的微分方程,求系统的冲激响应h(t)。(1)y(t)+3y(t)=2f(t),t0;(2)y(t)+4y(t)=3f(t)+2f(t),t0;(3)y(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t),t0;,(1)y(t)+3y(t)=2f(t),t0;,解：系统特征方程为s+3=0,解得特征根s=-3,且满足nm冲激响应与齐次解形式相同,h(t)=Ke-3tu(t)代入原微分方程，有Ke-3td(t)-3Ke-3tu(t)+3Ke-3tu(t)=2d(t),即Ke-3td(t)=2d(t)利用冲激函数的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)得Kd(t)=2d(t)，即K=2冲激响应h(t)=2e-3tu(t),(2)y(t)+4y(t)=3f(t)+2f(t),t0;,解：系统特征方程为s+4=0,解得特征根s=-4,且存在n=m冲激响应含有d(t)项,h(t)=Ae-4tu(t)+Bd(t)代入原微分方程，有Ae-4td(t)-4Ae-4tu(t)+Bd(t)+4Ae-4tu(t)+4Bd(t)=3d(t)+2d(t),即Bd(t)+Ae-4td(t)+4Bd(t)=3d(t)+2d(t)利用冲激函数的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)得B=3,A+4B=2，即A=-10,B=3冲激响应h(t)=-10e-4tu(t)+3d(t),(3)y(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t),t0;,解：系统特征方程为s2+3s+2=0,解得特征根s1=-1,s2=-2,且满足nm冲激响应与齐次解形式相同,h(t)=(K1et+K2e2t)u(t),将冲激响应代入原微分方程，有(K1e-t+K2e-2t)d(t)+2(-K1e-t-2K2e-2t)d(t)+(K1e-t+4K2e-2t)u(t)+3(K1e-t+K2e-2t)d(t)+(-K1e-t-2K2e-2t)u(t)+2(K1e-t+K2e-2t)u(t)=4d(t),利用冲激函数的筛选特性：f(t)d(t)=f(0)d(t)，以及f(t)d(t)=f(0)d(t)-f(0)d(t)，得(K1+K2)d(t)+(K1+2K2+K1-K2)d(t)=4d(t)即K1=4，K2=-4冲激响应h(t)=(4e-t-4e-2t)u(t),习题4-1比较周期方波的对称性，写出Fourier级数展开式。,(a),fa(t)偶对称，Fourier级数展开式中只含有直流分量和余弦分量。,(b),信号为fa(t)右移T/4，即fb(t)=fa(t-T/4)，根据时移特性可以得到fb(t)的Fourier系数。,(c),fc(t)=2fa(t)-A，偶对称，且半波镜像对称，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的余弦分量。C0=0,(d),信号为fc(t)右移T/4，即fd(t)=fc(t-T/4)，根据时移特性可以得到fd(t)的Fourier系数。C0=0,(d),奇对称，且半波镜像对称，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的正弦分量,习题4-3求下列信号指数形式的Fourier级数系数。,(1)f(t)=sin2w0tf(t)=1/(2j)(ej2w0tej2w0t)C2=1/(2j)=-0.5jC-2=-1/(2j)=0.5jCn=0,n2,(4)f(t)=sin2t+cos4t+sin6tf(t)=1/(2j)(ej2tej2t)+1/2(ej4tej4t)+1/(2j)(ej6tej6t)取w0=2,f(t)=1/(2j)(ejw0tejw0t)+1/2(ej2w0tej2w0t)+1/(2j)(ej3w0tej3w0t)C1=-0.5j，C-1=0.5jC2=0.5，C3=-0.5j，C-3=0.5jCn=0,n1,2,3,-99,习题4-7已知频谱Cn，写出f(t)表达式,w,Cn,33,4,11,22,-66,-33,0,由图可知:w0=3,C0=4,C13,C21,C32,习题5-1求非周期信号的频谱函数。,(a),矩形脉冲的频谱F(jw)=AtSa(wt/2)Fp1(t)=Sa(w/2)时移特性Ff(t-t0)=F(jw)ejwt0,习题5-1求非周期信号的频谱函数。,方法一：fa(t)=2p1(t-1.5)+2p1(t+1.5)Ffa(t)=2Sa(w/2)ej1.5w+2Sa(w/2)ej1.5w=4Sa(w/2)cos(1.5w),方法二：fa(t)=2p4(t)-2p2(t)Ffa(t)=8Sa(2w)-4Sa(w),习题5-1求非周期信号的频谱函数。,(c),fc(t)=2p1(t-0.5)+p1(t-1.5)Ffc(t)=2Sa(w/2)ej0.5w+Sa(w/2)ej1.5w,习题5-5利用Fp1(t)=Sa(w/2)以及Fourier变换的性质求f(t)的Fourier变换,(a),Ff1(t)=1/|0.5|F(jw/0.5)ejw=2Sa(w/0.5/2)ejw=2Sa(w)ejw,f1(t)=p1(0.5(t-1)扩展2倍，平移1,习题5-5利用Fp1(t)=Sa(w/2)以及Fourier变换的性质求f(t)的Fourier变换,(c),Ff3(t)=Sa(w/2)ej0.5w-Sa(w/2)ej0.5w=Sa(w/2)ej0.5w-ej0.5w=2jSa(w/2)sin(0.5w),f3(t)=p1(t+0.5)-p1(t-0.5),习题5-6利用Ff(t)=F(jw)以及Fourier变换的性质求Fourier变换,(1)Ff(t-5)=F(jw)ej5w(时移特性)(2)Ff(5t)=1/5F(jw/5)(展缩特性)Ff(-5t)=1/5F(-jw/5),