高中数学必修四三角函数平面向量复习(1-10讲全)

第1讲：任意角、弧度制及任意角的三角函数1 角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3 任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan .三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4. 三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线()()()()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线题型一角的有关问题例1(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角是第一象限角，试确定2、所在的象限 已知角45，(1)在区间720，0内找出所有与角有相同终边的角；(2)设集合M，N，那么两集合的关系是什么？题型二三角函数的定义例2已知角的终边经过点P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值题型三三角函数线、三角函数值的符号例3(1)若是第二象限角，试判断的符号；(2) 已知cos ，求角的集合 (1)y的定义域为_(2) 已知sin 20)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？第2讲：同角三角函数基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.2下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系角图示与角终边的关系3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限题型一同角三角函数的基本关系式的应用例1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值 (1)已知tan 2，求sin2sin cos 2cos2；(2) 已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .题型二三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2) 已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值 (1)化简：；(2) 已知f(x)，求f的值题型三三角函数式的化简与证明例3求证：sin (1tan )cos . 证明下列恒等式：(1)；(2)tan .第3讲：三角函数的图像和性质1 “五点法”作图原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、(，0)、(2，0)余弦函数呢？2 三角函数的图象和性质 函数 性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0) (kZ)对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k (kZ)单调增区间2k，2k (kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数题型一三角函数的定义域、值域问题例1(1)求函数ylg sin 2x的定义域；(2) 求函数ycos2xsin x 的最大值与最小值 (1)求函数y的定义域；(2) 已知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值题型二三角函数的单调性与周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1) ysin；(2)y|tan x|. 求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值题型三三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x) 的图象关于直线x0对称，则的值为_(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.(1)定义运算adbc，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是 ()Ax BxCx Dx(2)若函数f(x)asin xbcos x (00，0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数yAsin(x)的图象关于直线xxk(其中xkk，kZ)成轴对称图形(2)函数yAsin(x)的图象关于点(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心对称图形题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1已知函数y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？题型二求函数yAsin(x)的解析式例2(1)(2011江苏) 已知f(x)Asin(x) (A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_(2)(2011辽宁)已知函数f(x)Atan(x)(0，|0，|0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_题型三三角函数模型的应用例3如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间 如图所示，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，(0，)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式第5讲：两角和与差的正弦、余弦和正切1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C)cos()cos_cos_sin_sin_(C)sin()sin_cos_cos_sin_(S)sin()sin_cos_cos_sin_(S)tan()(T)tan()(T)2 二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T可变形为tan tan tan()(1tan_tan_)，tan tan 11.4 函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f() sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定题型一三角函数式的化简、求值问题例1(1)化简：；(2)求值：2sin 50sin 10(1tan 10). 在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan 的值为_题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值 已知cos ，cos()，且00时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3. 共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_ 下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的线性运算例2如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线 设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直第7讲：平面向量基本定理及坐标表示1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3 平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.题型一平面向量基本定理的应用例1已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且x，y，求的值 如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_题型二向量坐标的基本运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标 已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，则第四个顶点D的坐标是_题型三共线向量的坐标表示例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d. (2011北京)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若(a2b)与c共线，则k_.第8讲：平面向量的数量积1 平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab0，两个非零向量a与b平行的充要条件是ab|a|b|.2 平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3 平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aaa2，|a|；(4)cos ；(5)|ab|_|a|b|.4 平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.题型一平面向量的数量积的运算例1(1)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16(2)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x等于()A6 B5 C4 D3(2012北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积 (1)已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)已知向量a(1，)，b(1,0)，则|a2b|等于()A1 B. C2 D4题型三向量数量积的综合应用例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数) 已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)第9讲：平面向量的应用1 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)2 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质题型一应用平面向量的几何意义解题例1平