10 第十章强度理论与组合变形

1,10.1应力状态,10.2强度理论,10.3组合变形,第十章强度理论与组合变形,返回主目录,2,截面应力,危险点应力状态,强度判据,概述,10.1应力状态,返回主目录,3,组合变形：,问题：危险点应力状态？强度判据？,弯扭组合,压弯组合,返回主目录,过一点不同方向面上应力的状况，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。,应力,指明,应力状态,一点的应力状态的表示方法,单元体法：围绕一点取微小的正六面体材料单元体,x面、y面、z面,各边边长,材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。,材料单元体上任意方向面上的应力均匀分布。,(Three-DimensionalStateofStresses),三向（空间）应力状态,考虑到切应力互等定理，在九个应力分量中，只有六个独立的应力分量。,(PlaneStateofStresses),平面（二向）应力状态,单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses),纯剪应力状态(ShearingStateofStresses),三向应力状态,平面应力状态,例一,单向应力状态,例二,平面应力状态纯剪切应力状态,由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。,例三,S平面,例四,S平面,18,思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有,10.1.1平面应力状态,返回主目录,19,注意到txy=tyx，解得：,利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：,返回主目录,20,任一截面应力,10.1.2极值应力与主应力,返回主目录,21,10.1.2极值应力与主应力,（10-1）式,代入(10-1)式：,sn取极值的条件：,y,x,xy,tg,s,s,2t,a,-,-,=,2,0,=x,22,10.1.2极值应力与主应力,注意到：tg2a0=tg(p+2a0),(10-5)式,23,切应力的极值？,代入(10-2)式：,令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0,=x,24,极值切应力作用平面？,切应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45。,(10-6),即有：a1=a0p/4,xy,y,x,tg,t,s,s,a,2,2,1,-,=,25,求任一截面应力(10-1)、(10-2)式,求主应力大小和方位(10-5)、(10-4)式,主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,平面应力状态,26,求极值切应力-(10-7)式，作用面与主平面相差45。,返回主目录,27,解：1）主应力与主方向主应力：由（10-5）式有：,主方向角：由（10-4）式有：,主平面方位:a01=58.28，a02=148.28,28,a=58.28时，由(10-1)式有:,a=148.28时有:sn=smax=42.36MPa,在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。故此面上还有第三个主应力sz=0。,各主平面上的应力？(t=0),三个主应力按大小排列。,用主应力表示应力状态，简洁、清晰。,平面应力状态,29,3)最大、最小切应力,由（10-7）式有：,a=13.28时，由（10-2）式有:,注意还有,a=103.28时:t=-22.36MPas=20MPa,30,求任一截面应力-（10-1）、（10-2）式,求主应力及其方位-（10-5）、（10-4）式,主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,极值切应力作用面相互垂直，切应力互等（大小相等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。注意：极值切应力作用面上一般s0。,31,讨论一、应力状态的第一不变量,由(10-5)式,即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。,在三向应力状态下，同样可以得到：,32,讨论二、主应力与极值切应力,由(10-5)式,二主应力之差的一半即该平面内的最大切应力,平面应力状态sz=0,33,讨论三、极值切应力作用面上s是否为零？,由(10-7)式知，此时应有：,若sx0或sy0，则xy平面上的txy不是极值切应力。,若sx0且sy0，则极值切应力面上必有。,s=s,x,y,除纯剪情况外，极值切应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。,34,思考题1：图中表示的纯切应力状态是否正确？如果正确，单元体应力状态用主应力如何表示？,(a),(b),(c),切应力互等？,t是极限切应力，主平面？,二主应力之和？,s在哪个面上？多大？,1,35,求任一截面应力(10-1)、(10-2)式,求主应力大小和方位(10-5)、(10-4)式,主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,平面应力状态小结,36,求极值切应力-(10-7)式，作用面与主平面相差45。,除纯剪情况外，极值切应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。,过某点任意三个相互垂直平面上的正应力之和不变。,返回主目录,37,习题:10.1;10.2(a)、(b)。,返回主目录,作业:P265,38,前节回顾:,平面应力状态,主应力;主平面,tmax=(s1-s3)/2s+s=s1+s3,返回主目录,39,线弹性应力-应变关系：s=Ee,对于用主应力表示的微元，沿主方向的应变（主应变）e1是沿x1方向的伸长。有：,10.1.3广义胡克定理与应变能,返回主目录,40,10.1.3广义胡克定理与应变能,广义胡克定理：,e1=s1+ms1-m(s1+s2+s3)/E=(1+m)s1-m(s1+s2+s3)/E,那个应变大？,41,应变能（讨论线弹性情况）,在三向应力状态下，弹性变形能仍等于外力的功，且只取决于外力和变形的最终值，与中间过程无关。,应变能密度v：单位体积的应变能,按过程1加载，再按过程2卸载，多余的能量,？,42,可假定三个主应力按比例同时从零增加到最终值，则应变能密度v可写为：,利用广义胡克定理，有：,43,体积改变能密度和畸变能密度,ve=v+v,V,d,应变能密度,体积改变能密度,畸变能密度,一般情况：,vd=?,(10-12),44,畸变能密度：vd=ve-vV,一般情况：,vd=?,三向等拉,?,2,45,最后得到用主应力表示的畸变能密度为：,(10-13),46,(a)：,47,设0ts；则s1=s+t；s2=s-t；s3=0,有：,返回主目录,48,前节回顾:,平面应力状态,主应力;主平面,tmax=(s1-s3)/2s+s=s1+s3,返回主目录,49,问题：复杂应力状态下的强度？,研究：危险点应力状态强度判据,？,10.2强度理论,50,10.2强度理论,单向应力状态：单向拉压试验,强度理论:复杂应力状态下材料破坏或屈服规律的假说。,复杂应力状态？,返回主目录,51,一、最大拉应力理论（第一强度理论）,考虑安全储备，给出：,10.2.1脆性材料的破坏强度理论,返回主目录,52,二、最大拉应变理论（第二强度理论）,考虑安全储备，给出：,胡克定理,返回主目录,53,一、最大切应力理论（第三强度理论）,10.2.2延性材料的屈服强度理论,返回主目录,54,二、形状改变比能理论（第四强度理论）,假说：,延性材料屈服取决于其畸变能密度v。,d,Mises条件,1913,德,55,10.2.2延性材料的屈服强度理论,二、畸变能密度理论（第四强度理论）,56,强度理论汇总：,破坏,屈服,常用,相当应力,强度条件的一般形式：工作应力许用应力,57,例2低碳工字钢梁截面尺寸H=200mm，h=180mm，B=100mm，a=92mm，s=200MPa。若截面受M=30kNm，FS=100kN作用，试校核其强度。,解：1)截面弯曲正应力：s=My/Iz,y=0处：s=0,58,例2低碳工字钢截面尺寸H=200mm，h=180mm，B=100mm，a=92mm，s=200MPa。若截面M=30kNm，FS=100kN，试校核其强度。,y=H/2处：Sz=0；tH/2=0,解：2)截面切应力：t=FSSz/Izb,y=0处：Sz=12.7410-5m3；b=0.008t0=tmax=FSSz/Iz(B-a)=10010312.74/(2.1950.008)=72.5(MPa),y=h/2处：Sz=9.510-5m3；b=0.1；th/2+=4.3(MPa),翼缘,y=h/2处：Sz=9.510-5m3;b=0.008;th/2-=54(MPa),腹板,59,解：3)强度校核,截面各可能危险点应力状态：,用主应力表示,D?,60,解：3)强度校核,讨论：A处；与梁弯曲正应力强度条件一致；C处：与梁弯曲切应力强度条件一致；B处：正、切应力同时存在，也可能是危险点。,61,前节回顾：,复杂应力状态,讨论组合变形问题,返回主目录,62,讨论一：某脆性材料应力状态如图，如何选用适当的强度理论？,讨论二：s1=100MPa，s3=0，若s2=20，50，80MPa，问sr3与sr4相差多大？,63,10.3组合变形,研究思路,10.3.1拉(压)弯组合变形,剪切、扭转暂不考虑。,64,x,y,z,A,B,C,D,截面正应力：s=s+s+s=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy,s是截面坐标(y,z)的函数，何处应力最大？FN作用下，各处应力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受压；My作用下，AD受拉，BC受压；,应力,10.3.1拉(压)弯组合变形,返回主目录,65,例3：正方形截面立柱，边长为2a，开槽截面为边长a2a的矩形。求开与未开槽截面最大应力值之比。,2)开槽部分横截面应力:截取研究对象，求截面内力。,解：1)未开槽部分横截面应力:s=FN/A=F/4a2(压应力),FN=F；M=Fa/2压弯组合变形且A处压应力最大。,66,例4：矩形截面梁宽b=40mm，高h=60mm，L=0.5m。已知s=120MPa，试校核其强度。,2)作梁的内力图,a=30,L,A,B,F=10kN,L,C,FC,FAy,FAx,解：1）求约束力。平衡方程：SFx=FAx-FCcos30=0SMA=FC2Lsin30-FL=0SMB=FL-FAy2L=0,3)危险截面点在距A为L处，上端危险点压应力最大，且切应力为零。,解得：FC=10kN；FAx=8.66kN；FAy=5kN,67,矩形截面梁宽b=40mm高h=60mms=120MPa,该处：s弯=0；s压=8660/2400=3.6MPa。应力小一个量级，强度足够。,强度足够,a=30,L,A,B,F=10kN,L,C,FC,FAy,FAx,68,例5立柱在A(y，z)处受力F作用，求柱中最大应力。,解：截面法求内力：,最大压应力：,最大拉应力：,蓝点处,绿点处,最大应力在何处？,FN=F轴向压缩；My=Fz在xz平面内弯曲；Mz=Fy在xy平面内弯曲。,69,这是yz平面内的直线方程：y=0时，z=h/6；z=0时，y=b/6；,截面核心：偏心压缩载荷作用在截面核心内，则截面上无拉应力。,若不允许受拉(混凝土立柱)，A的极限位置？,70,讨论一：矩型截面柱的核心是菱形，圆形柱的核心？,设压缩载荷如图：FN=F；M=Fr,截面核心：,圆截面柱的截面核心是直径为d/4的圆。,返回主目录,71,扭矩T=Mx,弯矩Mz,弯矩My,弯曲剪应力通常较小，暂不考虑；拉/压弯组合已讨论。,内力,应力,合成弯矩,10.3.2圆轴的弯扭组合变形,返回主目录,72,10.3.2圆轴的弯扭组合变形,强度条件,对于圆轴，有：WT=2Wz=2W=pd3/16;W=pd3/32,第三强度理论,第四强度理论,73,弯、扭,方法归纳圆轴的弯扭组合变形,圆轴合成弯矩M,74,例6传动轴AB直径d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C轮直径d=160mm，D轮直径d=80mm，=20，已知力F1=2kN，s=120MPa，试校核轴的强度。,1,2,解：1)受力分析,SFx=FAx=0,SMx=F2cosad2/2-F1cosad1/2=0F2=4kN,SMy=F1sinaAC-F2cosaAD-FBzAB=0FBz=-2.28kN,SMz=F1cosaAC-F2sinaAD+FByAB=0FBy=0.286kN,SFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0FAz=-0.8kN,SFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0FAy=-0.8kN,有平衡方程：,75,2)求轴的内力，,3)危险截面：可能是C或者D。再考查合成弯矩。,绕x轴的扭转：CD段扭矩为：T=F1cosad1/2=0.15kNm,xy面内弯曲：无分布载荷，弯矩是各段线性的，且：MzC=FAyAC=-0.16kNmMzD=FByDB=0.0572kNm,xz面内弯曲：有：MyC=FAzAC=-0.16kNmMyD=FBzDB=-0.456kNm,画内力图,76,3)危险截面：可能是C或者D。再考查合成弯矩。,由,D处是危险截面，且T=0.15kNm;M=0.46kNm,4)强度校核：,强度足够！,77,例7：斜齿轮直径D=400mm，空心轴外径d=40mm，a=0.5。齿面上受Fy=1kN、Fz=2.4kN及平行于轴线的力Fx=0.8kN作用。s=120MPa。试校核轴的强度。,解：1）求支反力：,SFx=FAx=-Fx=-0.8kN,SMy=-0.4FAz-0.2Fz=0FAz=-1.2kN,SMz=0.4FAy-0.2Fx-0.2Fy=0FAy=0.9kN,SMx=FzD/2-M=0M=0.48kNm,2）画内力图：,78,3）危险点应力：(压弯扭),危险点：轴C截面外圆周上。,3）强度校核：,强度足够！,79,弯、扭,方法归纳组合变形,圆轴合成弯矩M,80,力偶用矢量表示,讨论二：矩形截面杆双向弯曲能否用合成弯矩？,?,合成弯矩M不在对称面内。,在xAB面内也是平面弯曲。,返回主目录,线弹性情况下，分别考虑xy、xz平面的弯曲，各处应力再叠加。,81,设圆筒承受内压为p，圆筒的平均直径为，壁厚为。一般规定，当壁厚td/20时，统称为薄壁圆筒。,工程中经常遇到圆筒形容器，如锅炉、液压罐、储能器等。,因为容器尺寸一般不大，气体重力引起的压强与相比很小而忽略不计，故可认为容器内压强是处处相等的。,讨论三薄壁容器的强度,82,例8一蒸汽锅炉汽包承受的蒸汽压力的压强为p。汽包圆筒部分的内径为D，厚度为，D。试分别按第三和第四强度理论写出其相当应力。,由于筒底两端部受压力作用，在圆筒横截面上将引起轴向应力（或称为纵向应力）x。而在筒壁压力的作用下，圆筒纵截面上将引起环向应力（或称为周向应力）c。,83,1.计算汽包横截面上的轴向应力