常微分方程数值法

第九章常微分方程初值问题的数值解法,华长生制作,2,9.1引言,9.3龙格-库塔方法,9.2欧拉方法,本章要点：,本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有,线性单步法中的Euler方法、Runge-Kutta方法,华长生制作,3,9.1引言,在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程,只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解,而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解,在高等数学中我们见过以下常微分方程：,-(1),-(2),华长生制作,4,-(3),(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:,本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)(4)只作简单介绍,我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件,华长生制作,5,定理1.,对于问题(1),要求它的数值解,华长生制作,6,-(1),从(1)的表达式,可以看出,求它的数值解的关键在于,而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过,华长生制作,7,9.2Euler方法,考虑一阶常微分方程初值的问题：,设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题进行离散化。一般是引入点列，这里为步长，经常考虑定长的情形，即。记为初始问题（1）的问题准确解在处的值，用均差近似代替（1）的导数得,(1),华长生制作,8,令为的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得,从处的初值开始，按（2）可逐步计算以后各点上的值。称（2）式为显式Euler。由于（3）式的右端隐含有待求函数值，不能逐步显式计算，称（3）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（2）和（3）两式作算术平均，就得梯形公式。,华长生制作,9,解本题有如果用Euler方法，由（2）并代入h=0.1得,同理，用隐式Euler方法有,（4）,华长生制作,10,同样可得梯形公式的显式为,三种方法及准确解的数值结果如表1所示。从表中看到，在处，Euler方法和隐式Euler方法的误差分别是和，而梯形方法的误差却是。,华长生制作,11,在例1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计算。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如，其隐式Euler公式为。显然，它是的非线性方程，可以选择非线性方程求根的迭代法求解。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供迭代初值，用公式,华长生制作,12,这里，L是Lipschiz常数。当hL/21即h2/L时，迭代序列收敛。,对于隐式公式，通常采用预估-校正技术，即先用显式公式计算，得到预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得到校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式作校正，即,称该公式为改进的Euler公式。,假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有,也可以表示为下列形式,华长生制作,13,华长生制作,14,单步法的局部截断误差和阶初值问题（1）的单步法可以写成如下统一形式,其中与有关。若中不含则方法是显式的，否则是隐式的，所以一般显式单步法表示为,华长生制作,15,定义1设是初值问题（1）的准确解，则称,为单步法的局部截断误差。,定义2如果给定方法的局部截断误差，其中为整数，则称该方法是p阶的，或具有p阶精度。若一个p阶单步法的局部截断误差为,则称其第一个非零项为该方法的局部截断误差的主项。对于Euler方法，有Taylor展开有,华长生制作,16,梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差,所以隐式Euler方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项为，仅与显式Euler方法的局部截断误差的主项反一个符号。,可见，梯形方法是二阶精度的。,华长生制作,17,这种类型的方法称为单步格式或单步法,Euler方法的几何体现:,前进Euler公式,后退Euler公式,华长生制作,18,Euler1.m,例1.,解:,由前进Euler公式,华长生制作,19,得,依此类推,有,01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848,华长生制作,20,定义1.,因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有,定义2.,定义3.,华长生制作,21,华长生制作,22,Euler公式的局部截断误差为,具有1阶精度,后退Euler公式的局部截断误差为,也具有1阶精度,显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好,从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高,因此有必要找寻精度更高的求解公式,华长生制作,23,二、基于数值积分的常微分方程数值解法,-(1),对于初值问题,-(11),华长生制作,24,矩形求积公式,梯形求积公式,误差为,华长生制作,25,(一)矩形求解公式,由,可得,令,-(12),(12)式称为矩形公式(矩形法),实际上就是Euler求解公式,华长生制作,26,(二)梯形求解公式,由,可得,令,-(13),称(13)式为梯形求解公式(梯形法),注意:(13)式是隐形公式,华长生制作,27,则梯形公式第k步的截断误差为,显然梯形法具有二阶精度,由于梯形公式为隐形公式,一般情况下不易显化,华长生制作,28,-(14),以上公式称为改进的Euler求解公式(改进Euler法),即,-(15),华长生制作,29,例3.,用Euler公式、梯形公式和改进Euler公式求解初值问题,并比较结果的精度