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文档简介

2.4一阶隐式微分方程与参数表示,一阶隐式微分方程的一般形式是:如果能将其化为导数解出的方程,则可选用前面介绍的方法求解.如,当导数不能解出,或即使可以解出导数,而其表达式相当复杂时,采用引入参数的方法,使其变为导数已解出的情形.,1.解出y型:这里,设有连续的偏导数.引入参数,则y=f(x,p),表示积分曲线上点(x,y)与切线的斜率p之间的关系.以下设法求积分曲线上点(x,y)与参数p的关系式x=x(p),y=y(p).,2.4.1可以解出y(或x)的方程,y=f(x,p)两边对x求导得:这是导数解出的情形.,(i)若求得方程(2)的通解是p=(x,c),则原方程的通解是y=f(x,(x,c),).(ii)若求得方程(2)的通解是x=(p,c),则原方程的通解是(iii)若求得方程(2)的通解是(x,p,c)=0,则原方程的通解是,注:当时,从得p=p(x),代入y=(x,p)得y=(x,p(x).如果y=(x,p(x)是解,则是奇解.有关奇解的概念及其它相关问题留待第三章讨论.,例2.解方程解:解出y并令得两边对x求导得,由得p=cx,所以通解是,由p2=1得代入原方程得也是原方程的解.,例3求解方程解:解出y并令得y=p3+2xp两边关于x求导得乘以积分因子p(p0)得,所以,通解另外p=0时,得y=0也是解.,注:,2.解出x型:求解方法与方程(1)的完全类似.引入参数则方程(3)变为x=f(y,p).两边关于y求导,得,如果(4)的通解是(y,p,c)=0,那么原方程的通解为:例2、例3均可用此法求解.,例4解方程:解:解x出并设y=p=p(y),得两端对y求导得,由得所以,代入(5)式得原方程通解是:y2=2cx+c3.由1+2yp3=0得经检验,不是原方程的解.,例5解方程:y3-4xyy+8y2=0.解:解x出并令y=p,得对y求导得,由得所以,代入(6)式得原方程通解是:由p3-4y2=0得经检验,它是原方程的解.,3.缺y型F(x,y)=0(7)记y=p则方程(7)成为F(x,p)=0(8)它表示Oxp平面上的一曲线.设它有参数表示下面只需求出y与t的关系式y=y(t).,2.4.2不显含y(或x)的方程,所以,原方程有参数形式的通解:,例6解方程:解:令y=tant,得所以,通解是:,例7解方程:x3+(y)3-3xy=0.解:令y=tx,得,所以,通解是:,4.缺x型F(y,y)=0(9)解法与方程(7)类似.记y=p,将F(y,p)=0表为适当的参数形式:,所以,通解是:,例8解方程y2(1-y)=(2
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