流体力学第3章

1.先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程,2.在一特定的条件下积分可得到伯努利积分。,3.伯努利积分的实际应用,4.动量定理，及其应用。,第三章流体动力学,本章内容：,3-流体运动微分方程式,-欧拉运动微分方程式由牛顿第二定律导出。,一、理想流体运动微分方程,ii(=x，y，z）,表面力沿向的合力：,理想流体，各面上无切应力,质量力在轴上的投影：,Xdxdydz,加速度在方向的投影：,取脱离体,受力分析以方向为例,列方程,方程适用条件,理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是不可压缩均适用。,二、粘性流体运动微分方程（N-S方程）,作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。,取一六面体流体微团,流体微团上受力,表面力：法向应力切向应力,质量力：,第一个下标：切应力所处于的坐标面,第二个下标：切应力的方向,切应力互等证明：,面力是二阶小量，质量力是三阶小量,力矩方程为：,同理可证,略去高阶小量后得：,（一）应力形式的运动微分方程,N-S方程的推导,方向,（一）应力形式的运动微分方程,?讨论,（1）上面方程组是否封闭？（2）应力与变形速度之间是否有某种关系？,（一）应力形式的运动微分方程,（二）广义的牛顿内摩擦定律,牛顿平板剪切流试验：,微团的剪切变形速度,切应力与剪切变形速度成正比,1切应力与速度之间的关系,dvxdt,流体微团的运动形态：,一般的平面剪切变形,（二）广义的牛顿内摩擦定律,1切应力与速度之间的关系,2法向应力与线变形速度之关系:,由于流体微团伸缩变形产生附加法向应力。,理想流体,粘性流体,不可压缩流体,（二）广义的牛顿内摩擦定律,三、NS方程（可压缩流体）,四、不可压缩流体N-S方程,讨论,1.N-S方程的求解：,2.N-S方程为偏微分方程求解时应给定边界条件和初始条件。,3.物面上为无滑移条件（切向速度为零）与理想流体不同。,变量4个：三个速度和压力方程4个,3-2伯努利方程,-欧拉运动微分方程的特解,理想流体的欧拉运动微分方程式,连续性方程,一、方程推导,(1)理想流体,(3)定常运动,(4)质量力只有重力,(5)沿流线(轨迹线)积分,(2)不可压缩流体,限制条件,欧拉运动微分方程的伯努利积分,c伯努利积分常数,对于不同的流线伯努利积分常数c一般不相同。,对于不可压缩理想流体，在重力作用下作定常流时，在同一条流线上值保持不变。,伯努利积分（方程）,或为,（3-30）,（3-31）,或为,下标1、2为同一流线上的任意两点,忽略重力作用,？讨论：,讨论：,速度、压力沿流程如何变化？,1、几何意义,二、伯努利方程的意义,结论：对于理想流体，定常运动，质量力只有重力作用时，沿流线总水头为一常数。总水头线为一条水平线,压强水头,流速水头,总水头,位置水头,总水头,2能量意义(物理意义),伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。,单位重量流体的位置势能,单位重量流体的压力势能,单位重量流体的动能,单位重量流体的总机械能：,？讨论：,实际流动中总水头线不是水平线，单位重量流体的总机械能沿流线也不守恒,为什么？,3-3伯努利方程的应用,一小孔口出流,解：(1)设流动符合不可压缩理想流体定常流动条件。,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程,(a),(b),(2)在小孔出口,发生缩颈效应。设缩颈处的截面积为Ae,缩颈系数,(c),小孔出流量,(d),收缩系数与孔口边缘状况有关：,实际孔口出流应乘上一修正系数k1,(e),=k,称为流量修正系数，由实验测定。,内伸管=0.5,流线型圆弧边=1.0,锐角边=0.61,二文丘利管（一种流量计）,取管轴为基准列伯努利方程:,连续性方程:,联立得：,解出,流量,形管（内装水银）：,或,注意：考虑流体粘性,因此,流线近似为一组平行直线，则铅直方向上动水压力按静水压力分布，即A,三、皮托管(测流体流速）,点:B（）,管测得压力称动压力（A）,管测的压力称总压力，又称总压管皮托管。,在流线上列立伯氏方程点=p=pAUAUB点=p=pBUB,因此,pA=hpB=(h+h）,因此,“联合测管”，或普朗特管,UAU，UB,处感受到动压处感受到总压,四虹吸管,求虹吸管出口流速和最高点S处的压力,列0-1两截面的伯努利方程,列0-S两截面的伯努利方程,五有能量输入的伯努利方程,列1-2两截面的伯努利方程,E是单位重量的水流通过水泵后由于动力机械对它做功而增加的能量，为水泵的扬程（PUMPHEAD),单位重量的水流从水泵获得的净能量为E单位时间通过水泵的水流为所以水流单位时间内获得的总能量（功率）,水泵功率,3-4积分形式动量方程,一、动量方程,目的：推求流体和物体之间的相互作用力的合力或合力矩。,拉格朗日观点质点系动量的变化率等于作用在该质系上的合外力,欧拉法：？,1方程推导-定常不可压缩流动,流场中任取控制体体积为，控制面A，,t时刻：流体在A内dt后：流体移到新位置A内。,定常运动内动量是不变的,总动量变化：,两项积分可合并成在AA1A2上的积分,单位时间内从A1进来的动量,单位时间内从A2出去的动量,控制面外法线方向单位矢量,2一维定常管流流动的动量方程,进口断面,出口断面：,如果进出口截面速度分布均匀，则有,在单位时间内动量变化等于封闭控制面内在该时间内的动量变化。（等于流出动量与流入动量之差）。,（4）流体中的物体施加于流体上的作用力，这一项正是要求出的力。,3讨论,外力包括,（1）质量力，一般为重力，如果流动为水平面流动或重力作用较小时可以忽略不计。,（2）表面压力，与控制面垂直，计算时一般采用相对压力！（3）表面粘性力，与控制面相切，如果不考虑粘性，则粘性力为0,控制面选取,（）边界面或流面。这些面上没有动量进出，因而动量的通量等于零；,（）速度及压力分布已知的面,计算符号,与坐标系选择有关，一致时为正，反之为负。,例一流体对弯管管壁的压力,X方向动量方程,Y方向动量方程,设流体对管壁的作用力为则管壁对流体的作用为,例二射流对倾斜平板的冲击力,解：(1)列射流表面0-1、0-2伯努力方程,(2)连续性方程,(3)平板对射流的作用力为F,列动量方程,x方向,y方向,平板对射流的冲击力R,例三如图所示，求喷嘴对管子的作用力,解：(1)列中心线1-2伯努力方程,(2)列连续性方程,(3)列动量方程,例四已知d=200mm,v1=4m/s，p1=98kpa,不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力Rx,Ry。,解：设弯管对水流的作用力为Rx,Ry,动量方程,连续性方程,伯努利方程,则水流对弯管的作用力为Rx,Ry,1,例五已知h0=2.5m，h1=0.5m,求每米宽闸门上水流的水平推力。不计水头损失与摩擦阻力。,3动量方程,1连续性方程,20-1伯努利方程,所以水流对闸门的水平推力R为,p0,进气孔,液体,手臂1,h,H,例1打吊针,列药液液面处一点0和手臂针头处一点1的伯努利方程,例2一大水箱中的水通过在水箱底部接通的一竖直管道流入大气中，管道直径d=10cm，收缩管嘴出口断面dB=5cm，不计水头损失，求管中A点的相对压强。,解：列1-0的伯努利方程,连续性方程,列1-2的伯努利方程,例3水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。,解：首先计算1-1断面管路中心的压强。,列1-2的伯努利方程,因为A-B为等压面，列等压面