现代控制理论第4章

现代控制理论,宁波大学信息科学与工程学院蓝艇Office:曹光彪信息楼109室Tel-mail：tlan,线性系统的可控性与可观测性,线性定常系统的线性变换,线性定常系统的反馈结构与状态观测器,李雅普诺夫稳定性分析,线性系统的状态空间分析与综合,线性系统的状态空间描述,Contents,概述,经典线性系统理论以传递函数为基础单输入-单输出线性定常系统的分析和综合只能揭示输入-输出间的外部特性难以处理多输入-多输出系统现代控制理论以状态和状态空间概念为基础不仅反映输入-输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性。既适用于单输入-单输出系统，又适用于多输入-多输出系统。,线性系统的状态空间描述,R-L-C串联电路的两类描述：,线性系统的状态空间描述,令,令,若已知，则电路中其它变量可唯一地确定，称为完全描述的电路变量。,线性系统的状态空间描述,状态变量对应的矩阵方程：称状态方程,如在电路中令是输出，并令,状态空间描述（状态空间模型，状态空间表达式）,状态方程,输出方程,线性系统的状态空间描述,状态空间的基本概念状态和状态变量：表征系统运动的信息称为状态。状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最少）的变量。对于物理系统而言：,状态向量：,状态空间：,状态变量：,n个状态为坐标轴构成的n维空间,状态与状态轨迹,线性系统的状态空间描述,状态方程：,(1)单输入情况,(2)多输入情况,线性系统的状态空间描述,输出方程：,(1)单输出情况,(2)多输入-多输出情况,线性系统的状态空间描述,状态空间表达式：,单输入-单输出一般形式,多输入-多输出的一般形式：,线性系统的状态空间描述,R-L-C串联电路的状态空间描述,若,若取,线性系统的状态空间描述,若,注意：,状态变量的选择不唯一，一组状态变量与另一组状态变量之间存在非奇异线性变换,状态空间表达式的建立,由系统微分方程或传递函数导出线性定常连续系统状态空间表达式。由系统微分方程导出状态空间表达式,（1）输入变量不含导数项,按以下选取状态变量,状态空间表达式的建立,状态空间描述,状态空间表达式的建立,绘制状态变量图（结构图）,（2）输入量含有导数项,状态空间表达式的建立,为了使状态方程中不包含输入的导数项，选择状态变量,状态空间表达式的建立,将上述关系代入的表达式,状态空间表达式的建立,各系数hi的确定,状态空间描述,状态空间表达式的建立,绘制状态变量图（结构图）,状态空间表达式的建立,举例：,列写系统的状态空间描述。,选择,状态空间表达式：,状态空间表达式的建立,由系统传递函数建立状态空间表达式,设系统传递函数为,进一步整理为,系数计算公式,状态空间表达式的建立,（1）串联分解,严格有理真分式,的几种状态方程形式,引入中间变量,状态空间表达式的建立,列写状态空间表达式,令,状态空间表达式的建立,考虑,则有,注意：矩阵A（称为友矩阵）和b,具有上述矩阵形式的状态空间描述，称为可（能）控标准型。,状态空间表达式的建立,状态空间表达式的建立,若,因为,这就是输入没有导数项的情况：,状态空间表达式的建立,当,对应的微分方程：,状态变量按下式选择：,经整理后,可（能）观测标准型,状态空间表达式的建立,A和c的形式称为可观测标准型,最后有,状态空间表达式的建立,可观标准型状态变量图,状态空间表达式的建立,可控标准型的系数矩阵与可观测标准型系数矩阵之间的关系：,可控标准型,可观测标准型,上述关系称为对偶关系,状态空间表达式的建立,举例：,（1）可控标准型,可控标准型的状态与输出之间的关系：,状态空间表达式的建立,令,可得以下关系式：,最后可导出：,状态空间表达式的建立,可观测标准型：,对应的状态变量与输入、输出量的关系：状态变量的选取,状态空间表达式的建立,（2）只含有单实极点的情况(并联分解）,典型一阶惯性环节的状态图：,若,设传递函数为,状态空间表达式的建立,设,状态方程的解,线性定常连续系统状态方程的解,（1）齐次状态方程解,1)幂级数法,设的解是t的向量幂级数,代入,比较等式两边的系数：,状态方程的解,定义,为矩阵指数函数,状态转移矩阵,状态方程的解,2)拉普拉斯变换解法,对齐次方程两边取拉普拉斯变换,状态转移矩阵,状态方程的解,可以证明：无论矩阵A是否奇异，,是非奇异的，即存在,例1.用L变换求下列矩阵的矩阵指数函数,状态方程的解,状态方程的解,（2）状态转移矩阵的运算性质,状态转移矩阵具有以下性质：,（1）,（2）,并且有,（3）,状态方程的解,（4）,（5）,令,状态方程的解,（7）,（6）,状态方程的解,（8）,若,若,（9）,若,引入,则有,状态方程的解,(10)两种特殊的状态转移矩阵计算,A是约当矩阵,状态方程的解,状态方程的解,例：求如下状态方程的状态转移矩阵和状态方程的解,解：,状态转移矩阵,状态方程的解,例：求如下状态方程的解,求状态转移矩阵,方法一：,状态方程的解,方法二,状态方程的解,例：已知,求,由,状态方程的解,状态方程的解,（3）非齐次状态方程的解,求解方法：积分法和L变换法,1)积分法,有,等式两边积分,状态方程的解,一般有,2)L变换法,状态方程的解,状态方程的解,例4,在例2已计算,输入为单位阶跃函数,状态方程的解,传递函数矩阵,设,令初始条件为零,(1)定义传递函数矩阵,传递函数矩阵,例4：设系统,传递函数矩阵,传递函数矩阵,(2)开环与闭环传递函数矩阵,开环传递矩阵,输入向量与输出向量之间的传递矩阵,传递函数矩阵,输入向量与偏差向量之间的传递矩阵,传递函数矩阵,(3)传递矩阵的对角化与应用解耦控制,每个输入量,一个输出量,解耦后的传递矩阵必为对角阵，即,若系统的输入、输出的维数相等。,传递函数矩阵,解耦后输入输出,为了确保输入能控制每个输出，则要求,对角化的传递矩阵是非奇异的,解耦控制引入控制装置使系统矩阵对角化,线性定常系统的两种简单的解耦的方法:,(1)用串联补偿器实现解耦,(2)用前馈补偿器实现解耦,传递函数矩阵,解耦控制引入控制装置使系统矩阵对角化,1）用串联补偿器实现解耦,传递函数矩阵,现希望为对角阵，各元素与性能指标要求有关。,若在H为对角阵,对角阵,为对角阵,串联补偿器设计,传递函数矩阵,2）用前馈补偿器实现解耦,原闭环系统,引入前馈后,前馈补偿器设计,传递函数矩阵,例5：设系统结构如图所示,解耦系统的闭环传递矩阵,传递函数矩阵,（1）原系统的闭环传递函数矩阵,传递函数矩阵,(2)串联补偿器设计,设反馈矩阵,传递函数矩阵,传递函数矩阵,前馈补偿器实现解耦:,前馈补偿器设计,传递函数矩阵,线性系统的可控性与可观测性,用状态空间表达式描述系统，一般要考虑两个问题：,（1）在有限时间内，能否通过施加适当的控制量将系统从任意初态转移到其它确定的状态上去。（可控性问题）（2）由于状态变量不是都可测量，能否在有限的时间内根据对输出的测量来确定初态。（可观测性问题）,线性系统的可控性,1、线性系统的可控性,例1：已知一系统的状态方程,可控性问题,（1）若，可以控制并且通过耦合关系影响达到间接控制，所以都是可控制的。,（2）若，可以控制，不能影响，所以不可控制的。,线性系统的可控性,例2：电桥电路,设状态变量分别为,输出变量为,电路动态方程：,线性系统的可控性,输入电压同时控制,电路状态可控。,当,电桥处于平衡，,若,无论输入变化，但。,不可控,当电桥平衡时，动态方程化简为,从上述关系可知：,不可控,电桥电路的状态不完全可控。,线性系统的可控性,可控性定义,考虑线性时变系统的状态方程,状态可控:p.469,系统可控:p.470,系统不完全可控:p.470,线性系统的可控性,容许控制,线性定常系统，系统可控性与初始时刻的选取无关,状态与系统可达：,线性定常连续系统：可控性和可达性是等价的离散系统和时变系统，可控性和可达性两者是不一定等价的,线性系统的可观性,2、线性系统的可观测性,考虑线性时变系统的状态空间描述,状态方程的解,输出响应,假设，均已知，,初始状态未知,线性系统的可观性,可观测性是可由完全估计的性能,可由来估计,系统完全可观测：p.471,系统不可观测：p.471,线性系统的可控性判据,3.线性定常连续系统的可控性判据,设单输入/单输出线性定常系统,状态方程的解,为简单起见，设,设系统状态可控,即在,线性系统的可控性判据,令：,关心的是找出能判定系统可控的条件，由凯勒-哈密顿定理,线性系统的可控性判据,或：,可控性矩阵,上述线性方程组有解（单输入/单输出系统可控）的充要条件：,同理可以导出多输入系统的可控的充要条件：,输入为p维,上述线性方程组有解（多输入系统的可控）的充要条件：,线性系统的可控性判据,例3：判断下列系统的可控性,系统不可控,线性系统的可观性判据,、线性定常系统的可观测性判据,线性定常系统的输出：,已知部分,令：,由凯勒-哈密顿定理，可得,线性系统的可观性判据,由量测值唯一地确定的充要条件（系统可观性充要条件）：,多输出系统的可观测性的充要条件：,线性系统的可观性判据,例：判断下列连续系统的可观测性（1）（2）,线性系统的可观性判据,例：已知系统的状态空间描述,判别系统的可控性与可观测性。,解：可控性矩阵,系统不可控。,可观测矩阵,系统不可观测。,对偶性原理,5对偶性原理,可控性与可观性在概念和判据形式上，具有一定的相似性，两者之间存在一定的内在关系，这种内在关系称为对偶性原理。,设系统,定义系统的对偶系统,对偶性原理,系统：,对偶系统：,系统与对偶系统的可控性与可观测性之间的关系,系统,可控性充要条件：,对偶性原理,可观测性充要条件：,对偶系统,可控性充要条件：,可观测性充要条件：,等价,对偶性原理,对偶系统,系统,可控性充要条件,可观测性充要条件,对偶系统,系统,可控性充要条件,可观测性充要条件,对角标准型可控性和可观测性判据,设系统状态空间模型,经线性非奇异变换后,对角标准型可控性和可观测性判据,结论：线性非奇异变换不会改变原系统的可控性和可观测性,对角标准型可控性和可观测性判据,（1）可控性判据,系数矩阵A为对角标准型,n个互不相同的实数特征值,n个维的行向量,系统可控的充要条件：,对角标准型可控性和可观测性判据,由满秩,行线性无关,对角标准型可控性和可观测性判据,结论：系统可控的充要条件,若中某个行向量为零向量，所对应状态变量是不可控的。,即,均不为零向量,对角标准型可控性和可观测性判据,例3：,可以看出：系统是可控的，如果则系统不可控，不可控分量,不失一般性，讨论以下系统矩阵和输入矩阵,系统可控的充要条件：,系数矩阵A为Jordan标准型,对角标准型可控性和可观测性判据,（2）可观测性判据,系数矩阵A为对角标准型,n个行向量,由于,对角标准型可控性和可观测性判据,由满秩,列线性无关,即,均不为零向量,结论：系统可观测的充要条件,若中某个列向量为零向量，所对应状态变量是不可观测的。,对角标准型可控性和可观测性判据,系数矩阵A为Jordan标准型,不失一般性，讨论以下系统矩阵和输入矩阵,系统可观测的充要条件：,上述结论可推广到n维状态空间。,对角标准型可控性和可观测性判据,判断系统的可观性。,系统状态不可观,例4：,例题-判断可控性,1.2.3.,例题-判断可控性,4.5.6.,例题-判断可观性,1.2.3.,例题-判断可观性,4.5.6.,可控性和可观性与传递函数的关系,对于一个给定的系统，既可以用状态空间模型去描述，又可以用传递函数去表征。,这两种描述方法所得结果是否完全相同？,图示系统的闭环传递函数：,存在零点与极点相消。,可控性和可观性与传递函数的关系,状态空间描述：,可控性和可观性与传递函数的关系,定理2：单输入-单输出线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，根据状态变量的不同选择，系统或为不可控，或为不可观，或既不可控又不可观。,什么情况下，两种描述等价？,定理1：给定系统(A,B,C)的传递函数矩阵G(s)所表示的是该系统可控并且可观测的那部分子系统。,实际系统是不稳定的。,可控标准型和可观标准型,线性定常系统的线性变换,对线性系统进行非奇异变换的目的:便于系统分析与综合设计线性变换后的典型形式:系统矩阵对角化系统矩阵约当化A,b化为可控标准型A,c化为可观测标准型系统结构分解,状态空间表达式的线性变换,设动态系统描述为令P是线性非奇异变换阵非奇异变换的目的使得规范化，便于分析和计算,常用的线性变换关系,（1）化A阵为对角型,1)设为任意形式的方阵，有n个互不相同的实数特征值,是以下特征方程的解,非奇异变换阵有实数特征向量组成,特征向量满足以下方程式：,常用的线性变换关系,2）若为友矩阵，具有n个互不相同的特征值,则范德蒙特矩阵,常用的线性变换关系,3）设A阵具有m重实数特征值，其余为（n-m）个互不相同的实数特征值，在求解,时仍然有m个独立的实特征向量,常用的线性变换关系,例1：将下列状态方程化为对角线型,解：特征方程,常用的线性变换关系,常用的线性变换关系,常用的线性变换关系,（2）化阵为Jordan型,1)设A矩阵具有m重实数特征值，其余为（n-m）个互不相同的实数特征值，在求解,时，只有一个独立的实特征向量,只能化A为Jordan型矩阵,常用的线性变换关系,这时是广义实特征向量，满足,是互不相同特征值对应的特征向量,常用的线性变换关系,2)若A为友矩阵（可控标准型的A矩阵）,只有一个独立的实特征向量,常用的线性变换关系,3)设A阵有五重特征值,有两个独立的实特征向量,其余(n-5)个特征值为互异，,可能化A为如下Jordan型矩阵,常用的线性变换关系,（3）化可控系统为可控标准型,单输入系统的可控标准型,可控性矩阵,一个不具有可控标准型的可控系统，可以通过线性变换化为可控标准型。,常用的线性变换关系,设,设变换阵,常用的线性变换关系,变换阵P可由以下计算获得：,(a)计算,(b)计算,(c)选择,(d)构造,(e)计算,对偶原理求可观标准型,求的可观标准型写出对偶系统列出对偶系统可控性矩阵求出对偶系统的可控标准型得到原系统的可观标准型,非奇异线性变换的不变性,令,(1)变换后的系统特征值不变,非奇异线性变换的不变性,(2)变换后的系统传递矩阵不变,(3)变换后的系统可控性不变,(4)变换后的系统可观测性不变,线性定常系统的结构分解,一个不可控系统，必然含有“可控”和“不可控”两种状态,一个状态不完全可观测的系统，必然含有“可观测”和“不可观测”两部分状态,从可控性、可观测性出发，状态变量可以分为：,可控可观测：,不可控不可观测：,可控不可观测：,不可控可观测：,若系统状态不完全可控、不完全可观测，则可通过线性非奇异变换，将系统分解为上述四类子系统：系统的规范分解,线性定常系统的结构分解,（1）系统按可控性结构分解,设：不完全可控系统,若可控性矩阵,从中选择个线性无关的列向量,另任意选个维的线性无关的列向量,构造一个非奇异变换阵,线性定常系统的结构分解,可控子系统：,不可控子系统：,线性定常系统的结构分解,特点：,1),线性定常系统的结构分解,2)若不可控子系统的仅含稳定的特征值，以保证系统稳定。,3)由于的不唯一性，可控性结构分解是不唯一的。,线性定常系统的结构分解,5)可控性结构分解实际上为判断系统可控性提供了一个准则。,4)可控子系统的稳定性由的特征值所决定，不可控子系统的稳定性由的特征值所决定,线性定常系统的结构分解,（2）系统按可观测性结构分解,设：不完全可观测控系统,若可观测性矩阵,线性定常系统的结构分解,从中选择个线性无关的行向量,另任意选个维的线性无关的行向量,构造一个非奇异变换阵,线性定常系统的结构分解,可观测子系统：,不可观测子系统：,线性定常系统的结构分解,（3）系统结构的规范分解,设：不完全可控、不完全可观测控系统,1）进行可控性分解,2）对可控子系统进行可观测性分解,根据可控性矩阵构造,根据可控子系统的可观测矩阵构造,线性定常系统的结构分解,3）对不可控子系统进行可观测性分解,根据不可控子系统的可观测矩阵构造,线性定常系统的结构分解,线性定常系统的结构分解,不可控不可观测子系统：,不可控可观测子系统：,可控可观测子系统：,可控不可观测子系统：,系统特征值：,线性定常系统的结构分解,系统传递函数矩阵：,线性定常系统的反馈结构,输出反馈:用输出量作为反馈状态反馈:用系统内部的状态变量作为反馈,基于经典控制理论的系统设计与综合：输出反馈。基于现代控制理论（状态空间法）的系统设计与综合采用：状态反馈、输出反馈,状态反馈需要状态可物理测量，实际不可能完全物理上可检测的。状态观测器问题,线性定常系统的反馈结构,1）状态反馈,设系统的状态空间模型,设系统的控制量：,状态反馈系统的动态方程,线性定常系统的反馈结构,状态反馈后的传递函数矩阵：,闭环系统：,线性定常系统的反馈结构,2）输出反馈,输出反馈到状态微分的反馈系统,输出反馈,两种输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统（2）输出反馈到参考输入的反馈系统,传递函数：,线性定常系统的反馈结构,输出反馈到参考输入的反馈系统,传递函数：,如果,输出反馈等价与状态反馈,线性定常系统的反馈结构,（2）反馈结构对系统性能的影响,状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。,1）对系统可控性和可观测性的影响,定理9-1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。,状态反馈系统的动态方程,线性定常系统的反馈结构,状态反馈可能会影响系统的可观性的解释:,由输出方程：,若,输出的量测中不含有任何系统状态。,线性定常系统的反馈结构,定理9-2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。,定理9-3：输出反馈到参考输入的反馈系统（即输出反馈），不改变系统可控性和可观测性。,线性定常系统的反馈结构,2）对系统稳定性的影响,状态反馈系统的动态方程,状态反馈和输出反馈都会改变系统的系数矩阵，所以其会影响系统的稳定性。,若状态反馈系统是渐近稳定的，则要求（A-BK）的特征值均有负实部，则系统实现了状态反馈镇定,若通过状态反馈使得闭环系统成为稳定系统，则称为镇定,线性定常系统的反馈结构,定理9-4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。,由于系统A,B不完全可控，则有可控性结构分解,引入状态反馈,系统的极点配置,闭环系统的性能与闭环极点（特征值）密切相关。在经典控制理论中用调整开环增益、串联校正、并联校正来配置闭环极点，改善闭环系统的性能。,状态空间方法：利用状态反馈或输出反馈来配置极点。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。,两个问题：（）极点可配置的条件；（）确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。,系统的极点配置,1）利用状态反馈的极点可配置条件定理9-5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控,证明：,(1)极点可配置条件,在此讨论的极点配置条件适合于:单输入-单输出系统,多输入-多输出系统。,以单输入-多输出系统来证明该定理。,系统的极点配置,设受控系统A,b是状态可控的，经非奇异变换,将矩阵A、b可化为可控标准型，有,（1）充分性,系统的极点配置,变换后的状态反馈矩阵,系统的极点配置,通过选择,可以满足方程中n个任意特征值。,系统的极点配置,（）必要性若系统不可控，必有一部分状态与无关，不可能具有可控标准型，也就不可能得到全状态反馈，不可控部分的子系统的特征值不能重新配置。,经过变换后的,系统的极点配置,证明：以多输入-单输出系统为例，给出定理的证明：,2）利用输出反馈的极点可配置条件定理9-6：1、用输出反馈到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测,由对偶定理：若受控系统A,B,c可观测，则对偶系统AT,cT,BT可控，由状态反馈极点配置定理知,的特征值可任意配置。,表明：当且仅当受控系统A,B,c可观测，则（A-hc)的特征值可任意配置。,系统的极点配置,适当选择f可实现特征值任意配置。,2、用输出反馈到参考输入端，反馈增益矩阵为F，在单输出情况下，F=f，则,另一方面，如果比例的状态反馈要用输出反馈来实现，这就带来一个问题：这时要求输出反馈含有输出量的导数，f不是常数矩阵；显然，若f是常数矩阵就不能任意配置极点。,系统的极点配置,（2）单输入单输出系统的极点配置算法,计算状态反馈增益矩阵的规范算法：,给定可控系统A,b和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系统的动态矩阵的特征值为,（）计算的特征多项式,（）计算由所决定的希望特征多项式,系统的极点配置,(4)计算变换阵,(5)求P,(6)计算反馈增益向量,(3)计算,系统的极点配置,例1：受控系统,求状态反馈矩阵,使系统的闭环极点为,解：,（1）列写状态空间表达式，能控标准型,系统的极点配置,系统的极点配置,系统的极点配置,例2：受控系统,求状态反馈矩阵,研究使系统的闭环极点为,的可能性。,解：对象传递函数存在零极点对消，系统可控不可观，或系统不可控可观。,若按可控标准型实现，则状态反馈矩阵设计结果和例1一致。,现按可观标准型实现，设计状态反馈矩阵,系统的极点配置,系统的极点配置,系统的极点配置,上述方程与方程（1）是矛盾的，所以无解，表示系统状态不完全可控，无法用状态反馈实现闭环极点任意配置。,系统的极点配置,例已知系统状态方程,求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为,解：系统的可控性判别矩阵,系统的极点配置,系统的特征多项式,希望特征多项式,则可求得,变换阵,规范算法,系统的极点配置,一般方法:,系统的极点配置,系统的极点配置,（3）状态反馈对传递函数零点的影响,设受控系统A,b是状态可控的，经非奇异变换,将矩阵A、b可化为可控标准型，有,系统的极点配置,状态反馈后的闭环系统传递函数,状态反馈后的闭环系统传递函数的零点不改变。但这时，可能会存在闭环极点与零点产生对消，并且造成被对消掉的极点后的系统状态不可观测。,全维状态观测器及其设计,状态观测器、状态估计器、状态重构器,全维状态观测器的维数=被控对象的状态维数,（1）全维状态观测器的构成方案,被控对象动态方程：,上述的模拟系统模型：,由于两个系统的初始状态可能不同，即,存在状态误差：,输出误差：,全维状态观测器及其设计,根据反馈控制原理：,状态观测器的状态微分端,状态观测器及其状态反馈结构图,全维状态观测器及其设计,（）全维状态观测器分析与设计,由状态观测器的结构,观测器系统矩阵：,决定了观测器的特征值,观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态，都能保证,上述也称为观测器存在的条件。,全维状态观测器及其设计,考察状态误差动态方程,由,状态误差动态方程的解：,所引入的输出反馈不起作用,若,输出反馈起作用,若,的特征值具有负实部，则,全维状态观测器及其设计,定理9-7：若系统（A，B，C）状态可观测，则状态可用,的全维状态观测器给出估计值，其中H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。,全维状态观测器及其设计,例4：设被控对象,试设计全维状态观测器，将极点配置到,解：,（1）列写状态空间模型，如考虑可控标准型,全维状态观测器及其设计,（2）设计输出反馈阵,观测器特征方程：,期望观测器特征方程：,全维状态观测器及其设计,4、分离特性,两个问题：（1）在状态反馈系统中，用状态估计值是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？,（2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分会改变已经设计好的观测器的极点配置？,设控制输入：,全维状态观测器：,全维状态观测器及其设计,构造2n维复合系统：,引入状态误差动态方程：,对2n维复合系统，引入非奇异变换：,全维状态观测器及其设计,注意：,对2n维复合系统的传递函数,全维状态观测器及其设计,对2n维复合系统的特征值,定理9-8(分离定理)：若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行,全维状态观测器及其设计,在例4中：已知被控对象,（全维状态观测器的极点：,解：,（1）列写状态空间模型，如考虑可控标准型,采用例4设计的状态观测器,并通过状态观测器实现状态反馈，将经状态反馈后的闭环系统满足：,全维状态观测器及其设计,全维状态观测器及其设计,带全维状态观测器的状态反馈系统的状态变量结构图,输出反馈与极点配置,输出反馈与极点配置,多输入单输出系统，输出反馈到状态微分的反馈系统,输出反馈,输出反馈与极点配置,定理：用输出反馈到状态微分，实现任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测。,输出反馈到状态微分的反馈系统的一些性质：（1）输出反馈不会改变系统的可观性，即经过输出反馈后系统仍然可观测，不会改变闭环零点；（2）输出反馈可能会影响系统的可控性,输出反馈与极点配置,输出反馈到参考输入的反馈系统,输出反馈与极点配置,状态反馈,输出反馈到参考输入的反馈系统的一些性质：（1）h为常数矩阵时，不能任意配置闭环极点。（2）不会改变原系统的可控性和可观测性,李雅普诺夫稳定性概念,如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态（平衡点）。,1)平衡状态:,平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。,（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。,2)李雅普诺夫稳定性定义：,如果对于任意小的0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：,3)一致稳定性：,通常与、t0都有关。如果与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。,李雅普诺夫稳定性概念,4）渐近稳定性：,系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：,称此平衡状态是渐近稳定的。,5）大范围稳定性：,当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。,6）不稳定性：,不论取得得多么小，只要在内有一条从x0出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。,注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。,李雅普诺夫稳定性概念,设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为的闭球域内。,（a）李雅普诺夫意义下的稳定性（b）渐近稳定性（c）不稳定性,李雅普诺夫稳定性间接判别法,李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即,李雅普诺夫稳定性直接判别法,李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，是一个标量函数，记以；若不显含t，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。,标量函数定号性,正定性：标量函数在域S中对所有非零状态有且，则称均在域S内正定。如是正定的。负定性：标量函数在域S中对所有非零x有且，则称在域S内负定。如是负定的。如果是负定的，则一定是正定的。负（正）半定性：，且在域S内某些状态处有，而其它状态处均有（），则称在域S内负（正）半定。设为负半定，则为正半定。如为正半定不定性:在域S内可正可负，则称不定。如是不定的。,二次型函数是一类重要的标量函数，记,其中，P为对称矩阵，有。,标量函数定号性,当的各顺序主子行列式均大于零时，即,则正定，且称P为正定矩阵。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即,则负定，且称P为负定矩阵。若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。不属以上所有情况的不定。,李雅普诺夫第二法稳定性定理,设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性地把状态空间原点作为平衡状态,并设在原点邻域存在对x的连续一阶偏导数。,定理1若（1）,正定，（2）,负定；则原点是渐近稳定的。,负定表示能量随时间连续单调地衰减，