概率论 第4章 随机变量的数字特征

第4章随机变量的数字特征,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,2,第4章随机变量的数字特征,4.1数学期望4.2方差4.3协方差、相关系数与矩,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3,第4章随机变量的数字特征,对于许多实际问题，并不需要确定随机变量的分布函数，只要知道它的某些特征就足够了.例如，在评价某地区粮食产量的水平时,通常只需要知道该地区粮食的平均产量.这个与随机变量有关的数值虽不能描述随机变量的全貌，但却更集中地描述随机变量的某些重要特征,这些特征在理论与实践中都具有重要意义.由于他们往往只用一个数字表达，故把它们统称为随机变量的数字特征.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,4,4.1数学期望的定义,4.1.1离散型随机变量的数学期望,定义1设离散随机变量X的概率分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,.若级数绝对收敛，则称该级数的和为X随机变量的数学期望，简称期望，又称均值，记为E(X),即,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,5,例1（0-1分布的数学期望）设X服从0-1分布，求E(X).,解X服从0-1分布，所以X的分布律为,故X数学期望为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,6,例2（泊松分布的数学期望）设,求E(X).,解X的分布律为,故X数学期望为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,7,例3设随机变量X的概率分布律为,求X的数学期望.,解,但由于,所以X的数学期望不存在!,虽然,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,8,4.1.1连续型随机变量的数学期望,定义2设连续型随机变量X的概率密度为,若绝对收敛，则称,为X随机变量的数学期望，记为E(X).简称期望或均值.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,9,例4（均匀分布的数学期望）设,求E(X).,解X的数学期望为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,10,例5（指数分布的数学期望）设,求E(X).,解X的数学期望为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,11,例6（正态分布的数学期望）设,求E(X).,解X的数学期望为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,12,常用连续分布的数学期望,0-1分布的数学期望=p,二项分布B(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布E():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,13,1.问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？,4.1.2随机变量函数的数学期望,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,14,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,15,如果积分收敛,则有,(1)若为离散型变量，其概率函数为,如果级数,收敛，则有,定理1设X是随机变量,Y=g(X)是X的连续函数,则有,(2)如果X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,16,(4)设二维随机向量(X,Y)为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若收敛,(3)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为PX=xiY=yj=piji,j=1,2,3,如果,则Z=g(X,Y)的数学期望为,则Z=g(X,Y)的数学期望为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,17,解,例7设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,18,解,例8设二维随机变量,的密度函数为,求,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,19,解,例8设二维随机变量,求,的密度函数为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,20,4.1.3数学期望的性质,(1)E(c)=c;,(2)E(aX)=aE(X);,(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,21,(3).设X,Y为任意两个随机变量，都有,则,推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,22,(4).设X,Y为相互独立的随机变量，则有,证因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足,推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形,有,所以,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,23,解设随机变量,例9一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X).,i=1,2,10.,由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为表示第i站没有旅客下车，于是得的分布律如下：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,24,例9一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X).,=10.920.,这表明班车平均停车约9次,要计算E(X),只需计算,由于,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,25,试验证，但X和Y是不独立的,解,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,26,解,试验证，但X和Y是不独立的,所以,X的边缘密度函数,同理可得Y的边缘密度函数为,显然有，故X和Y是不独立的,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,27,1.离散型,2.连续型,3.Y=g(X),4.Y=g(X,Y),内容小结,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,28,常用连续分布的数学期望,0-1分布的数学期望=p,二项分布B(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布E():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,29,4.2随机变量的方差,随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价，而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.本节将介绍另一数字特征方差，用它来刻画随机变量在其中心位置附近平均偏离程度.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,30,4.2.1方差的概念,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,并称为X的标准差或均方差记为。,2.方差的几何意义,随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度若较小，则X取值比较集中，否则X取值比较分散因此，方差是刻画X取值分散程度的一个量,定义设X是随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即,1.方差的概念,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,31,其中PX=xk=pkk=1,2,3,.,连续型随机变量,离散型随机变量,3.方差的计算,4.方差计算公式,=E(X2)-E(X)2,证明,D(X)=EXE(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,32,例11设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，则称,为X标准化随机变量,试求和,解注意到均为常数，再由期望及方差的性质可得：,我们称上例的过程为对随机变量X的标准化,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,33,解,求D(X).,所以,或,例12设随机变量X具有概率密度,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,34,性质6D(CX)=C2D(X),推论D(X+C)=D(X)，D(aX+b)=a2D(X),性质7特别地若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y),性质8D（X）=0的充要条件是PX=E(X)=1,推广若X1,X2,Xn相互独立，,为常数，则有,性质5D(C)=0,5.方差的性质,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,35,证明(6)D(CX)=ECX-E(CX)2=C2EX-E(X)2=C2D(X),(6)D(X+C)=E(X+C)-E(X+C)2=EXE(X)2=D(X),而EX-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),由于X,Y相互独立，故有E(XY)=E(X)E(Y),从而有EX-E(X)Y-E(Y)=0，,(7)D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y),练习若X，Y相互独立，证明D(X-Y)=D(X)+D(Y).,=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y),=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),=EX-E(X)+Y-E(Y)2,=EXY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,36,6.常见分布的数学期望和方差,1)0-1分布概率分布为,E(X)=p,2)二项分布设随机变量XB（n，p），其概率分布为:,D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,37,2)二项分布设随机变量XB(n,p),其概率分布为:,则D(X)=E(X2)-E(X)2.事实上,所以D(X)=E(X2)-E(X)2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,38,3)泊松分布设随机变量X()，概率分布为：,，k=0,1,2,3,0,D（X）=E（X2）-E（X）2,因此D（X）=E（X2）-E（X）2=2+-2=,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,39,4)均匀分布设XUa,b概率密度为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,40,5)指数分布设XE()概率密度为：,故,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,41,，（x+),6)正态分布设XN（,2）概率密度为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,42,，（x+),6)正态分布设XN（,2）概率密度为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,43,常用随机变量的数学期望和方差,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,44,1.D(X)=Var(X)=EXE(X)2,3.常见分布的期望与方差,2.D(X)的性质(略),内容小结,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,45,3随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（）,1设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4，则E(X2)=(),练习题,2随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=().,二、单选题,一、填空题,设和是两个随机变量，则下式正确的是（）,三、计算题,设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,，n将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子编号相同的小球数的数学期望,18.4,5,9,(A),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,46,问题对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X,Y之间的某种关系!,4.3协方差、相关系数与矩,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,47,定义4若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量,Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),协方差,4.3.1协方差,X与Y的协方差。记为cov(X,Y)或Cov(X,Y),即,1.协方差的计算,离散型随机向量,其中PX=xi,Y=yj=piji,j=1,2,3,.,连续型随机向量,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,48,2.协方差计算公式,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),性质14若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0,性质13D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),3.协方差的性质,性质9Cov(X,Y)=Cov(Y,X),性质11Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数,性质12Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),性质10Cov(X,a)=0,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,49,求,解因为,同理可得,例13设二维（X,Y）随机变量的密度函数为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,50,为X与Y的相关系数.,定义5设(X,Y)为二维随机变量，D(X)0,D(Y)0,Cov(X,Y)均存在，则称,相关系数又称为标准化协方差.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,51,例14续例13，已求得协方差,现计算相关系数.,解：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,52,（1）|XY|1；,（2）|XY|=1当且仅当PY=aX+b=1,其中a,b为常数.,相关系数XY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度.,定理3,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,53,注意点,的大小反映了X与Y之间的线性关系：,接近于1,X与Y间正相关.,接近于1,X与Y间负相关.,接近于0,X与Y间不相关.,没有线性关系,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,54,定理4如果随机变量X与Y相互独立，则X和Y不相关.,但也有例外，例如二维正态分布,独立与不相关等价.,定义6当=0时，称X和Y不相关.,独立性与不相关性之间的关系,“独立”必然导致“不相关”,而“不相关”不一定导致“独立”以一个反例来说明.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,55,于是由:,得,这说明X与Y是不相关的,但,显然，X与Y是不相互独立的.,例15若XN(0,1),Y=X2,问X与Y是否不相关？,解因为XN(0,1),密度函数,为偶函数,所以,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,56,解X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y)如下：,例16设(X,Y)服从二维正态分布，求X,Y的相关系数。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,57,定理5对二维随机变量不相关和相互独立是等价的.,上述说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立=0，即X、Y相互独立与不相关是等价的.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,58,4.3.3矩与协方差矩阵,显然数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X、Y的二阶混合中心矩。,设X、Y为随机变量，k,l为自然数，,若E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩。,若EX-E(X)k存在，则称它为X的k阶中心矩。,若E(XkYl)存在，则称它为X与Y的k+l阶混合原点矩.,即(k,l=1,2,).,若EX-E(X)kY-E(Y)l存在，则称它为X与Y的k+l阶混合中心矩。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,59,显然，协方差矩阵是对称阵.,协方差矩阵,(X,Y)有四个二阶中心矩，分别记为,C11=EX-E(X)2，C12=EX-E(X)Y-E(Y)，,C21=EY-E(Y)X-E(X)，C22=EY-E(Y)2,则称矩阵,为(X,Y)的协方差矩阵.,欧启通主编.概率论与数理统计.