概率论 第5章 大数定律和中心极限定理

第5章大数定律和中心极限定理,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,2,第5章大数定律和中心极限定理,5.1大数定律5.2中心极限定理,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3,5.1大数定律,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.,定理1,存在，,则对于任意的正数,或,5.1.1.切比雪夫不等式,这两个不等式都叫做切比雪夫不等式.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,4,所以有,注：,切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系，,可用它,因为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,5,则由切比雪夫不等式，有,（1989年考研题）,解,例1,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,6,设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时,由切比雪夫不等式可得:,例2,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,7,练习若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计A发生400600次之间的概率。,解因XB(1000,0.5)，E(X)=500，D(X)=250,所以P400X600=P|X-500|100,得P|X-500|100,由,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,8,定义1,对随机变量序列,若存在,5.1.2.大数定律,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,9,定理2,（切比雪夫定理）,设独立随机变量序列,的数学期望,与方差,存在，并且方差,一致有上界，,则对于任意的正数,有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,10,证,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,11,由此得,但概率不可能大于,故有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,12,切比雪夫定理说明：,若独立随机变量序列,的数学期望,与方差存在，,且方差一致有上界，,按概率收敛于其数学期望,即当充分大时,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,13,推论,设随机变量序列,独立同分,则对于任意的正数,有,即，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,14,则事件在次,试验中发生的频率,证,设随机变量,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,15,于是由切比雪夫定理的推论得,由此可知,所以有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,16,伯努利定理说明：,当试验在相同的条件下重复进行很多次时，,随机事,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,17,概率很小的随机事件在个别试验中是不可能发生的.,说明：,（1）随机事件的概率究竟要多么小，,才能看作实际,上不可能发生呢？,这要根据随机事件的本质来确定.,（2）此原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验.,（3）由此原理可得重要结论：,如果随机事件的概率很接近于,则可以认为在,个别试验中这一事件一定发生.,5.1.3小概率事件的实际不可能性原理,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,18,例3,是否相信该工厂的产品,的次品率,解,假设该工厂的次品率,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,19,所以,在工业生产中，,小概率事件.,现在小概,率事件在一次试验中发生了.,根据小概率事件的实际,不可能性原理，,不能相信该工厂产品的次品率,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,20,的分布,除了若干例外,一般很难求出.,问题：能否利用极限的方法进行近似处理？,在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.,在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布,为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.,5.2中心极限定律,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,21,定理1（莱维-林德伯格定理）,并且数学期望和方差都存在：,它们的和的极限分布是正态分布：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,22,由列维定理可得如下的近似公式：,设独立同分布，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,23,计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.,例4,解,则,并且有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,24,于是所求的概率为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,25,对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值为2,方差为1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率？,例5,解,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,26,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,27,定理2,（棣莫弗-拉普拉斯定理）,设在独立试验序列中，,事件在各次试验中发生的,概率为,中发生的次数，,则有,其中,是任何实数，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,28,由定理可以推知：,设在独立试验序列中，,事件,大时，,之间的概率为,其中,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,29,说明：,(1),当充分大时，,在第二章中，,泊松分布是二项分布的极限分布，,且有近似计算公式,(2),现在由定理2知，,正态分布是二项分布的极限分布，,且有相应的近似计算公式.,两者应用场合不同:,逼近；,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,30,问其中有2950030500次纵,解,浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3的次数记为X,则X是一个随机变量,一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪,的冲击,纵摇角大于3的概率为1/3,若船舶遭受了,摇角度大于3的概率是多少？,90000次波浪冲击,将船舶每遭受一次波,例6,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,31,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,32,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,33,定理3,（林德伯格定理）,设独立随机变量,满足林德伯格,条件：,对任何实数有,其中,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,34,由林德伯格定理可知：,假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的.,其中，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,35,思考题,根据列维-林德伯格中心极限定理，,近似服从正态分布，,需要,(A)有相同的数学期望,(B)有相同的方差,(C)服从同一指数分布,(D)服从同一离散型分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3