北京理工大学《工科数学分析》第六章

,工科数学分析（下）,向量代数与空间解析几何,第六章,6.1空间直角坐标系,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标系,面,面,面,一个中心、三个轴、,三个面、,八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,三、坐标系的平移,将空间直角坐标系Oxyz平移，得到新的直角坐标系Oxyz。设点O在坐标系Oxyz中的坐标为（a,b,c），则两坐标系之间的坐标变换公式为：,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,A:;B:;C:;D:;,6.2向量及其线性运算,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,或,或,或,一、向量的概念,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,1加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2减法,三、数与向量的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,向量的平行,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与坐标轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,四、向量的投影,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,注：投影是一个数值，可正可负。,关于向量的投影定理（1）,证,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,五、向量的坐标表示,向量在轴上的投影,向量在轴上的投影,向量在轴上的投影,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,解,由题意知：,非零向量的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,六、向量的方向角与方向余弦,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,当时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特点,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,所求向量有两个，一个与同向，一个反向,或,6.3向量的乘积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明：,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）数：,若、为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,实例,二、向量的向量积,定义,关于向量积的说明：,/,向量积（“叉积”、“外积”）,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）数：,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,向量积的几何意义,解,解,三角形ABC的面积为,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,设,计算,并求,夹角的正弦与余弦.,答案:,用向量方法证明正弦定理:,证:由三角形面积公式,所以,而,证明：,证：,解：,6.4平面的方程,问题：求过定点，且垂直于向量的平面方程。,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,（平面的点法式方程）,法向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,向量（A，B，C）表示法向量,解,所求平面方程为,化简得,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过轴；,平面平行于轴；,平面平行于坐标面；,方程不含常数项,方程不含自变量x,方程不含自变量x,y,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,得,解,平面的截距式方程,代入得：,（通常取锐角）,两平面的夹角可以由它们的法向量来确定.,三、两平面的夹角,平面的夹角或者.,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例6研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,解,两平面平行,两平面重合.,解,四、点到平面的距离,解,点到平面距离公式,五、平面束,6.5空间直线的方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的标准方程（点向式）,直线的标准方程或称为直线的对称式方程,方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.,令,直线的参数方程,例用标准方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,直线方向,取,标准方程,标准方程,参数方程,解,所以交点为,所求直线方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角.（取锐角或直角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,五、点到直线的距离,解1,过点A作与直线L垂直的平面，平面方程为,求直线L与平面的交点，从而得到距离d。,解2,解3,直线L的方向向量为,在直线L上任取一点，,解4,直线L的参数方程为,设N为直线L上任意一点，则d为线段AN的最小值。,六、两直线共面的条件,直线,直线,在两直线上任取两点,6.6空间曲面与空间曲线,定义：,一、基本概念,空间曲面,曲面的一般方程：,曲面的参数方程：,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,空间曲线,曲线的一般方程：,曲线的参数方程：,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,播放,定义,二、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,二、柱面,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,返回,观察柱面的形成过程:,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,柱面举例,抛物柱面,平面,柱面方程,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,三、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,返回,旋转过程中的特征：,如图,将代入,得:,例4将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,四.椭圆锥面,与圆锥面的区别?,消去变量z后得：,曲线关于的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,五、空间曲线在坐标面上的投影,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线,例7求曲线在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在面上的投影为,所以在面上的投影为线段.,（3）同理在面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面上，,规定：,六、柱坐标系和球坐标系,1.柱坐标系,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,例求下列曲面在柱坐标系中的方程.,（1）圆柱面,（2）旋转抛物面,2.球坐标系,规定：,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球面；,半平面,例求下列曲面在球坐标系中的方程.,（1）旋转抛物面,（2）球面,（3）平面,6.7二次曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面,相应地:平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,一、基本内容,（一）椭球面,分析:,1:曲面关于三个坐标面对称,2:,3：与三个坐标面的交线:,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,4：与平面的交线,同理与平面和的交线也是椭圆.,5:综合以上分析，可得曲面草图,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆绕轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,（二）单叶双曲面,（1）用坐标面与曲面相截,截得中心在原点的椭圆.,分析:,与平面的交线为椭圆.,当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.,（2）用坐标面与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与轴平行，虚轴与轴平行.,双曲线的中心都在轴上.,与平面的交线为双曲线.,实轴与轴平行,虚轴与轴平行.,实轴与轴平行,虚轴与轴平行.,截痕为一对相交于点的直线.,截痕为一对相交于点的直线.,单叶双曲面图形,平面的截痕是两对相交直线.,（3）用平面与曲面相截，情况类似。,（三）双叶双曲面,（1）关于各坐标面对称，且,分析:,（2）