高三数学 函数模型及其应用课件新人教A

要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质,函数模型及其应用,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函数,性质,基础知识自主学习,2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.,y轴,x轴,快于,axxn,（2）对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有_.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+)上，总会存在一个x0，使xx0时有_.,慢于,logaxxnlogax,3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型f(x)=kx+b(k、b为常数，k0);(2)反比例函数模型(k、b为常数,k0);(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)；(4)指数函数模型f(x)=abx+c（a、b、c为常数，a0,b0,b1）；(5)对数函数模型f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m0,a0,a1）;(6)幂函数模型f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a0,n1).,4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案.,基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10 x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为（）A.2B.6C.8D.10解析依题意解得2x8,则x的最小值为2.,A,2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于（）A.3万4万元B.4万5万元C.5万6万元D.2万3万元解析设存入的本金为x，则x2%20%=138.64，,A,3.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元；购买2000吨,每吨为700元;一客户购买400吨,单价应该是（）A.820元B.840元C.860元D.880元解析依题意，可设y与x的函数关系式为y=kx+b,由x=800,y=1000及x=700,y=2000,可得k=-10,b=9000,即y=-10 x+9000,将y=400代入得x=860.,C,4.某物体一天中的温度T(单位:)是时间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午1200，其后t取正值,则下午3时温度为（）A.8B.78C.112D.18解析由题意，下午3时，t=3，T(3)=78.,B,5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_.解析依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4.,加密,发送,解密,4,题型一一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值.,思维启迪,题型分类深度剖析,解设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=(a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为x|0xb.又0ba,03b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.,探究提高二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.,知能迁移1某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.图1图2,(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90，180,270后得到，EF=FG=GH=HE，CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形.,(2)解设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24）=a(x-0.1)2+0.23（00，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答当CE=CF=0.1米时，总费用最省.,题型二分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图（一条折线）、图（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系.,(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.,思维启迪第(1)问就是根据图和所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.解(1)图是两条线段,由一次函数及待定系数法,图是一个二次函数的部分图象，,(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为,当0t20时，F（t）在0，20上是增函数，F（t）在此区间上的最大值为F（20）=60006300.当20t30时，由F（t）=6300，得3t2-160t+2100=0,解得t=(舍去)或t=30.,当30t40时，由F（t）在（30，40上是减函数，得F(t)400时，f(x)=60000-100 x是减函数，f(x)60000-10040025000.所以，当x=300时，有最大值25000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.,题型三指数函数模型与幂函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）.(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？,（参考数据:1.01291.113，1.012101.127，lg1.20.079,lg20.3010,lg1.0120.005,lg1.0090.0039）增长率问题是指数函数问题，利用指数函数模型，构造函数.,思维启迪,解（1）1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.,(2)10年后，人口总数为100(1+1.2%)10112.7（万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1+1.2%)x=120,(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2,两边取对数得20lg(1+x%)lg1.2=0.079,所以所以1+x%1.009,得x0.9,即年自然增长率应该控制在0.9%.,探究提高此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.,知能迁移31999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？,以下数据供计算时使用：,解（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2，两边取对数，则40lg（1+x）=lg2，则lg（1+x）=0.007525，1+x1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y12.48(1+1%)10，得lgylg12.48+10lg1.01=1.1392,y13.78，故人口至多有13.78亿.答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.,题型四函数的综合应用【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式(p0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数.,（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g(0)时,湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%？,（1）水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数；(2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数；(3)转化为方程即可解决.(1)解设0t1t2,g(t)为常数，g（t1）=g(t2),2分4分,思维启迪,(2)证明设0t1t2,g(0)-0,t1t2,g(t1)-g(t2)0,g(t1)0,a1);(6)分段函数模型.,1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.,失误与防范,一、选择题1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差（）A.10元B.20元C.30元D.元,定时检测,解析设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为S=k2t,当t=100时，100k1+20=100k2,当t=150时，150k2-150k1-20=故选A.答案A,2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-,+)上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析当x0且y0时，x2+y2=1,当x0且y0时，y2-x2=1,当x0且y0），匀速行驶s=vt,减速行驶(a0)结合函数图象可知选A.,A,5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20 x-0.1x2(02.3.xN*，x3，3x6，xN*，当x6时，y=50-3（x-6）x-115.令50-3（x-6）x-1150,有3x2-68x+1150,上述不等式的整数解为2x20(xN*）,6185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.,11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：,(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安