高中数学必修四：《任意角的概念》ppt课件

必修四第一章三角函数,1,1.1.1任意角的概念,2,1、角的概念,初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是：0至360。,3,2角的概念的推广,“旋转”形成角如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,4,“正角”与“负角”、“零角”我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660，,5,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0）此时零角的始边与终边重合。角的记法：角或可以简记成，或简记为：.如=-1500，=00，=6600等等,6,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了,角有正负之分;如：=210,=150,=660.角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（3602=720）3周（3603=1080）还有零角,一条射线，没有旋转.,7,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,8,用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量,（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（1）旋转中心：作为角的顶点.,9,（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360.于是就会出现720，540等角度.,10,3象限角,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）例如：30、390、330是第一象限角，300、60是第四象限角，585、1300是第三象限角，135、2000是第二象限角等,11,4终边相同的角,观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.,探究：终边相同的角都可以表示此角与k(kZ)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=1)30=30+0360(k=0),1470=30+4360(k=4)1770=305360(k=5),12,结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：|=+k360，kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。,13,注意以下四点：kZ，K0，表示逆时针旋转，K0,表示顺时针旋转.是任意角；k360与之间是“+”号，如k36030,应看成(30)+k360；终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：|=+k360，kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。,14,例1.在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)120；(2)640；(3)95012.,15,例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来：(1)60；(2)21；(3)36314.,16,例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.,终边落在坐标轴上的情形,0,90,180,270,+K360,+K360,+K360,+K360,或360+K360,17,第一象限的角表示为|k36090+k360,kZ；第二象限的角表示为|90+k360180+k360，kZ；第三象限的角表示为|180+k360270+k360，kZ第四象限的角表示为|270+k360360+k360，kZ,18,例4、写出终边落在y轴上的角的集合.,0,90,180,270,+K360,+K360,+K360,+K360,19,课堂练习,1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角,20,2、已知角2的终边在x轴的上方，那么是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角,3、若是第四象限角，则180是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角,21,4、若90135，则的范围是_，+的范围是_;,5、若的终边与60角的终边相同，那么在0,360）范围内，终边与角的终边相同的角为_;,22,弧度制,23,1、角度制的定义规定周角的为1度的角这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。,2、弧长公式及扇形面积公式,24,1、弧度制,我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。,设弧AB的长为l，,若l=r，则AOB=1弧度,1弧度,25,则AOB=2弧度,2弧度,若l=2r，,若l=2r，,2弧度,26,若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则AOB的弧度数的绝对值是,-3弧度,27,由弧度的定义可知：,圆心角AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比。,定义的合理性,28,一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值：,其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。,29,2、弧度与角度的换算,若l=2r，,30,由180=弧度还可得,31,3、圆的弧长公式及扇形面积公式,l=r,32,33,4、用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：,正实数,零,负实数,对应角的弧度数,34,练习,35,练习,36,小结：,