数理方程第1讲

数学物理方程,第1讲,第一章一些典型方程和定解条件的推导,数学物理方程，是指在物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出来的偏微分方程。,拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势)纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏性)和欧拉方程组(无黏性)圣维南方程组(弹性力学)波动方程热传导方程,古典数理方程,新的数理方程,麦克斯韦方程组(描述电磁场变化)薛定谔方程组(微观粒子)爱因斯坦方程(确定引力场)广义扩散方程流体力学方程的耦合,随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经更多地超出了传统的研究领域。,1.1偏微分方程举例和基本概念,一.偏微分方程举例二.基本概念,1.偏微分方程：方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的方程称为偏微分方程。,一般来说，它可以写成包含几个自变量x,y,和这些变量的未知函数u及其偏导数的方程形式：,(1.1),方程(1.1)是在自变量x1,x2,的n维空间Rn中的一个适当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那么称它们为方程的解。在这些可能解中，我们还要选出一个满足某些合适的附加条件的特解来。,例如偏微分方程：,容易验证下列两个函数：,(1.2),都是(1.2)的解。,2.方程的阶：包含在偏微分方程中的未知函数的偏导数的最高阶数称为方程的阶。,3.线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程。,例如：书中例1.1、1.2,(二阶线性偏微分方程),否则称之为非线性偏微分方程。,书中例1.5,4.半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏微分方程。如书中例1.6,5.拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微分方程。如书中例1.8,6.非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中，不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项，而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书中例1.1,下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。,算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：,与,都称为微分算子。,我们定义具有下列性质的算子为线性算子。,(1)常数c可以从算子中提取出来,(2)算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分别作用于两个函数所得结果之和。,现在来考察二阶线性偏微分方程：,如果取线性微分算子L为,那么上述偏微分方程可以写成：,或者简写为：,1.2方程及定解问题的物理推导,例1弦的振动设有一根均匀柔软的细弦,其线密度为常数.长为l,两端被固定在O,A两点，且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置（取为x轴）附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦上各点的运动规律。,x,O,u,A,F,P,Q,x,x+x,所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面上,而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动.所谓“微小”是指弦的振动幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小,即弦在偏离平衡位置后，弦上任何一点的斜率远小于1.,x,O,u,T,a,T,P,Q,N,N,x,x+x,x,F,或,综合上述分析，由牛顿第二定律可得,又,，故,由于弦作微小振动，,，则,代入（1.3）式可得,简写为,其中,方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。,应用微分中值定理可得,若外力消失F=0，则方程变为,上式称为弦的自由振动方程。,我们虽然称(1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。,只是其中的未知函数表示的物理意义不同。,例2薄膜平衡方程将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其他外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一曲面。求静态薄膜上各点的横向位移。,设展平的薄膜所在平面为oxy坐标面，垂直于oxy面的方向称为薄膜的横向。设薄膜的面密度为常数，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。,用平行于oux与ouy的坐标面作平面任意截取薄膜微元PQRS，它在oxy坐标面上的投影四边分别平行于对应坐标轴的矩形PQRS，其顶点坐标如图所示。,T张力密度，沿边缘单位长度上的拉力。,由物理学可知，边缘上任一点的张力密度T的方向是在该点处的薄膜切平面内，垂直于边缘。,设,分别为PQ，RS，QR，SP四边上的,o,y,u,由微元力的平衡关系可得,即,设，则,这就是微翘的薄膜平衡方程。,通常我们称形如,的方程为二维泊松方程。若薄膜自身的重力可忽略，即，则，这时方程(1.7)化为,称之为二维拉普拉斯方程(或调和方程)。,在三维空间中，相应的有,当时，,分别称之为三维泊松方程和拉普拉斯方程(调和方程)。,在数学上、物理学与工程技术中有很多典型问题都归结为求泊松方程或拉普拉斯方程的解。如热传导问题中定常温度分布、静电场的电势分布、不可压缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题。,复习高等数学内容以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,则任何一个三维空间的点或者向量a可表示为a=xi+yj+zk,或表示为a=(x,y,z)则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积或点积为:a1a2=x1x2+y1y2+z1z2它们的向量积或叉积为,用M来代表三维空间中的一点x,y,z,则一个数量场函数就是一个三元函数,用f(M)表示.一个向量场函数F(M),表示每给一点,都有一个向量与之对应,F(M)可表示为F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k其中P(M),Q(M),R(M)都是数量函数.一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的方向导数为,其中a,b,g为方向l的方向角。,数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数,记为gradf(M),函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M处的散度是一个标量场函数,记为divF,divF在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度在单位体积内所产生的流体的质量.如果为负,表示点M处流体在消失.,向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M处的旋度是一个向量场函数,记为rotF,向量微分算子的定义为,它又称为(Nabla)算子或哈密尔顿(Hmilton)算子.运用向量微分算子,设数量场函数为f(x,y,z),向量场函数为F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,其中,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,高斯公式和斯托克斯公式可分别写成,其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上的投影,而Ft为向量场函数在曲线切线方向上的投影.,例3热传导方程在物体中任取一闭曲面S,它所包围的区域记作V.假设在时刻t,区域V内的点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t),n为曲面元素DS的法向(从V内指向V外).由传热学中傅里叶实验定律可知,物体在无穷小时间段dt内,流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt、曲面面积dS、物体温度u沿曲面dS的法线方向的方向导数三者成正比,k为热传导系数.从时刻t1到t2,通过曲面S流入区域V的全部热量为,因S为闭曲面,式中的二重积分可利用高斯公式化为三重积分,即,流入的热量使V内温度发生了变化,在时间间隔t1,t2内区域V内各点温度从u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2),则在t1,t2内温度升高所需要的热量为,c物体的比热,r物体的密度.,11,流入的热量应等于物体吸收的热量,因此有,由于t1,t2及V是任取的,上式成立的条件就是被积函数相等,即,其中,方程(1.13)称为三维热传导方程.,12,13,若物体内有热源,其强度为F(x,y,z,t),则相应的热传导方程为,其中,作为特例,如果所考虑的物体是一根细杆(或一块薄板),或者即使不是细杆(或薄板)而其中的温度u只与x,t(或x,y,t)有关,则(1.13)就变成一维或二维热传导方程,如果考虑稳恒温度场,即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态,这时温度u已与时间无关,此时方程(1.13)就变成拉普拉斯方程(1.10).由此可见稳恒温度场内的温度u也满足拉普拉斯方程.在研究气体或液体的扩散过程时,若扩散系数是常数,则所得的扩散方程与热传导方程完全相同.,1.3初始条件与边界条件,上面讨论的是如何将一个具体问题所具有的物理规律用数学式子表达出来.除此以外,我们还需要把这个问题所具有的特定条件也用数学形式表达出来,这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件之下的.例如弦振动问题,上节所推导出来的方程是一切柔软均匀的弦作微小横向振动的共同规律,在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻的状态.,另外,弦的两端所受的约束也会影响弦的振动,端点处的物理条件不同就会产生不同的影响,因而弦的振动也不同.所以对弦振动问题来说,除了建立振动方程以外,还需列出它所处的特定条件.对热传导方程,拉普拉斯方程也是如此.,提出的条件应该能够用来说明某一具体物理现象的初始状态或者边界上的约束情况.用以说明初始状态的条件称为初始条件;用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件.,下面具体说明初始条件和边界条件的表达形式.先谈初始条件,对于弦振动问题来说,初始条件就是弦在开始时刻的位移及速度,若以j(x),y(x)分别表示初位移和初速度,则初始条件可以表达为,14,而对热传导方程来说,初始条件是指在开始时刻物体温度的分布情况,若以j(M)表示t=0时物体内任一点M处的温度,则热传导方程的初始条件就是u(M,t)|t=0=j(M).(1.23)泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态的,与初始状态无关,所以不提初始条件.,15,再谈边界条件.还是先从弦振动问题说起,从物理学得知,弦在振动时,其端点(以x=a表示这个端点)所受约束情况,通常有以下三种类型:第一,固定端,即弦在振动过程中这个端点始终保持不动.对应于这种状态的边界条件为u|x=a=0,(1.24)或u(a,t)=0.,16,第二,自由端,即弦在这个端点不受位移方向的外力,从而在这个端点弦在位移方向的张力应该为零.由前面的推导过程可知,此时对应的边界条件为,即,或,17,18,对热传导方程来说,也有类似的情况.以S表示某物体V的边界,如果在导热过程中边界S的温度为已知的函数f(x,y,z,t),则这时的边界条件为u|S=f(1.27)f是定义在S上(一般依赖于t)的函数.如果在导热过程中,物体V与周围介质处于绝热状态,则在S上的热量流速始终为零,则在边界S上必满足,19,20,所以,当物体和外界有热交换时,相应的边界条件为,即,其中s=k1/k,1,综上所述可知,不论对弦振动问题,还是对热传导问题,它们所对应的边界条件,从数学角度看不外有三种类型:一是在边界S上直接给出了未知函数u的数值,即u|S=f1(1.30)这种形式的边界条件称为第一类边界条件.二是在边界S上给出了未知函数u沿S的外法线方向的方向导数,即,这种形式的边界条件称为第二类边界条件.,22,23,三是在边界S上给出了未知函数u及其沿S的外法向的方向导数某种线性组合的值,即,这种形式的边界条件称为第三类边界条件.需要注意的是(1.22),(1.23),(1.24)右端的fi(i=1,2,3)都是定义在边界S上(一般说来,也依赖于t)的已知函数.不论哪一类型的边界条件,当它的数学表达式中的自由项(即不依赖于u的项)恒为零时,则这种边界条件称为是齐次的,否则称为非齐次的.,24,1.4定解问题的解法,如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数,并且代入该方程中能使它变成恒等式,则此函数称为该方程的解(古典解).由于每一个物理过程都处在特定的条件之下,所以我们的任务是要求出偏微分方程的适合某些特定条件的解.初始条件和边界条件都称为定解条件,把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起,就构成了一个定解问题.,对于定解问题只有初始条件,没有边界条件的定解问题称为初值问题(或柯西(Cauchy)问题);反之,没有初始条件,只有边界条件的定解问题称为边值问题.即有初始条件也有边界条件的定解问题称为混合问题.,定解问题的验证一个定解问题提得是否符合实际情况,当然必须靠实践来证实.然而从数学角度来看,可以从三方面加以检验:1)解的存在性,即看所归结出来的定解问题是否有解;2)解的惟一性,即看是否只有一个解;3)解的稳定性,即看当定解条件有微小变动时,解是否相应地也只有微小的变动.如果确实如此,此解便称为稳定的,否则所得的解就无实用价值.,如果一个定解问题存在惟一且稳定的解,则此问题称为适定的.在以后讨论中我们把着眼点放在讨论定解问题的解法上,而很少讨论它的适定性,这是因为讨论定解问题的适定性往往十分困难,而本书所讨论的定解问题都是经典的,它们的适定性都是经过证明了的.,1.5两个重要原理,一、杜阿梅尔原理,设是初值问题,的两次连续可微解，则,是初值问题,的解。,证明：由(1-27)可得,由(1-26)可得,对(1-27)