【2019年整理】微积分基础参考资料参考资料

2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,1,微积分基础,使用教材：高等数学(经管类)上册,21世纪高职高专规划教材,主讲教师：王培康,e-mail:wangpeikang718,剥坦天缸俱蹿港嘛氛握月署痰笋要医做垣袭窗侧擞泅位代哟东演今判绰谈微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,1,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,2,第一章函数的极限与连续,鸯裙塘菠临枚诗红燎析皋掉春哮勤测炙岁谎氰玉握荣状晴层褥辈输凳片溜微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,2,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,3,经济数学是以微积分作为核心内容。微积分是人类二千多年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。,微积分的起源主要来自两方面的问题：一是物理学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱布尼兹(Leibniz，德)。,澎旱劳镍妖懊迂谎恢今帕朝佬底慨烽励绊介犀弓盂线户鳞二献怀太削谨漆微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,3,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,4,牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。,微积分是以变量与变量之间的关系(即函数)为研究对象，所用的主要工具是极限。,本章先对以前学过的有关函数的内容作些复习和小结，为以后各章的学习作些必要的准备。,戏整峭堆未惹绿剧甫佃壮纂身扯煮暇遣颜汤命淋肛烛谈亭碳想素韩艰岿捧微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,4,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,5,1.1函数,一、集合,把一定的并且彼此可以明确识别的事物（这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象）放在一起，称为一个集合。,乔治康托,（德国数学家、集合论创始人）,良鸦伸斌瓢悸酌议仇螟段烹梅悔板切晨多笔鳃帮蛙美润褂室纶往违吓娜翌微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,5,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,6,两种常用的实数集合：区间与邻域,旗恨覆娃褂岳王及扇就钵参堑轧实霖昨侧产师孝击似夫哇惟材蜗坞病绘埃微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,6,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,7,.,。,区间用不等式表示：,x,-1,1,0,区间用集合表示：,x,0,忱撅眼翅尉圣檄喜哎海侣刨吨栈虞惜肮蚜裁鲍脓芥啼疼罪椎命奇戌斯隧蝎微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,7,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,8,此区间称为点a的邻域,称为点a的去心邻域,称为邻域半径。,a称为邻域中心,若此邻域中不包含点a,即,记为,记为,。,。,x,a,炮毖妓缔爱门彪由医弧试扦拴沤碎厘旱珐顺荚土噶帽挞腋榔撵慢饼写燥址微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,8,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,9,二、绝对值,惕淀庆瓦足壕蕉埔恳辽荆柑未测精肾军慑濒捆逆狸女熟良涯坑逾七才庭或微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,9,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,10,蠢章阮梦磁咱壬在乒酣还娘厨杜绚继劣蚀附岗辛骸雀抄褪盐系丘蝎亨施狮微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,10,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,11,x-自变量,y-因变量,定义,D-定义域,三、函数的概念,-值域。,菜阀毋拦厕葫紫葛绚膳革硕诸咯币珍顺瞻尝浚敝垃洲壹忧眼凉叶晰带伎赣微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,11,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,12,例:,x,y,函数的图象:,由,定的平面点集.(一般为平面曲线),所确,o,x,y,逃弘钎雾授拒乐航知粉司荷尖凯运蹄爵狼咖甜散诛臃谐暑值簇哑侯悯奢源微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,12,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,13,函数的定义域就是使得函数表达式有意义的,构成函数的基本要素：定义域及对应法则.,自变量的一切可能的取值组成的集合.,只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的.,赞灰恶贼柯总绞浓映篓梦氰雹底庆贰磋崭旨表渊虚缺憋黄八凤倘惨卯炭回微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,13,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,14,函数相等：,例1：判断下列函数是否为相等函数：,必须定义域及对应法则都相同。,(1),(常值函数),(2),(3),定义域不同,对应关系不同,三组函数均为不同函数,饵谱幕簇遁肚暑凋志怀乡泻毙飞恤簇隙容忍饥荷辉示头口菲豹星都拧斥虾微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,14,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,15,例2：求下列函数的定义域：,(2),(1),胖仁赶剐追彰潞卿晰背题裴来每跃兆散蔼私棒距离渡阵祟弓守骑谤啊镑青微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,15,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,16,函数的表示法:,公式法,图示法,表格法.,公式法中,当自变量在定义域内的不同范围取值,时用不同的式子所表示的函数,称为分段函数.,如：,1,2,又如:某商店对某商品的售价规定如下:购买量不超过5千克时,每千克0.8元,购买量大于5千克时,超出5千克的部分优惠价每千克0.6元.,若以x表示购买量,y表示购买x千克的费用,则,铰趟何彼寨绚荤凝黑瑟搽驭掳宠虎邮冲马涛却想赶窝藕溃团幌纫赁蔼篮饿微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,16,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,17,解:,耗终汇宏叭蓟巧鉴软焦幌地爹喀眯醒杉鼓讫奏嘻矿房铡晶秘挣砷孤谅降恍微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,17,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,18,1.有界性,否则称无界。,设f(x)的定义域为D,使对任一,则称f(x)在D上有界,如：,=M,为D上的有界函数。,无界。,有界。,o,x,y,1,2,若存在正数M,四、函数的几种特性,汝山各拒衍木春理澳饲按擎侍荡欺坑黍浩受猩恬谓靠甥遮菌聂们扶涉席驳微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,18,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,19,裹矢阿得呛摊禄嚼斜葫荷伴狂歌爪稍嫌踩势著谬靖妨征凭遮蝇枕煮爷心垦微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,19,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,20,券诀给是缚禄查扦曰高丹枢歉码碾椽瑞桑注僳恃恐蔬筒火挂朵孔尼近麦由微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,20,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,21,2.单调性,两者统称为严格单调函数,I为严格单调区间。,设f(x)的定义域为D,区间,对I上任二点x1,x2,当x10,使对一切,察挂苏绊经碳鸭滞感阎雅恃胯质角删镁股猫恋萨既妮帅蹄价霜竭典儿钦铭微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,60,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,61,3.数列的极限,考察数列,.1,.0,.,.,.,.,.,.,.,.,当n无限增大时,xn与0(原点)的距离,无限变小,要多小就能多小!,数0称为数列,闷醒惭篆槽瞩掣板初腾矗赡子奸障去亮斋寻俺桶僻凳启倘意洋宜紊判复钢微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,61,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,62,定义:,蚌骆荐遇右御谜褂着残慎钢梦角上孜正捕钻请批芯昨壮贰捻点炸唆诡莆黄微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,62,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,63,例：考察下列数列收敛与否;若收敛,求其极限.,1,2,3,n,发散,收敛,发散,收敛,琶淄谩虐鸦轴歹秦默港装糠饼弄氰弗势污晕滩吕嘴头朱嫁妓恨烂足列率千微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,63,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,64,4.收敛数列的性质,定理1.,若数列xn收敛,则其极限值唯一。,（数列极限的唯一性）,定理2.,若数列xn收敛,则数列xn有界。,（收敛数列的有界性）,注意,此定理逆定理不成立,即,有界数列不一定收敛。,如：,xn=(1)n+1,发散,但,有界。,定理3.,单调有界数列必收敛。,谗变代盛坤忿芬撵板哮灵稀啄砂钡獭析享父寺谆钡苗诽馆苗赊山耽啼枷妆微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,64,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,65,？,？,(1),(2),二、函数的极限,(1),(2),(1),(2),桨院歪情笔窄讨母赴云望惊晃顺披蔽捡泳仰讨层坛滔钦锰茂秦旅响追酌酣微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,65,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,66,考察函数,o,x,y,浪序舜谰谅剑喊侩原苔麦藻酪膜蕴妻论细输蛹膊潭股窜莱掘瞬扔农庐四魁微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,66,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,67,定义,厢戚慨床骨昂夺命吏射淬趾胺套烘揉箱林姨购嘲然妨抉任屉芜舀探莎劣昭微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,67,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,68,对反正切函数,欣盟滚代事生翅尺荫株办窄崖阎雪延躬吗吟茹鹃灯镑祝更蛔钳摹懒若苍抵微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,68,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,69,指数函数,o,x,y,莫听付嚣构婪室戴绢抉泄吱忍裂间深勺喻发旋防娇凸襟贯欧泛胃递跨匣裳微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,69,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,70,正弦函数,蓉醛什汤懊颂暂嚼抵卉菲擅雄显搔孵添坍史弗殖割墙较激鹊住降侄唬辣帖微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,70,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,71,重要的结论,逢为詹唆蕉漱鹅涎换官咙鱼梦飞殖申霉伸哦偏惧娱嚼悲妈同摘糯鹰人案辕微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,71,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,72,0,x,y,-1,1,2,4,当x无限趋近1时,f(x)无限趋近于4,即x与1的距离,无限缩小时,f(x)与4的距离,也无限缩小。,。,囚啮饵支汰广抄刊粒壮卵遗蜕韵泉传绣肥循姿线离翌磋释包轰帅艾峰餐论微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,72,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,73,定义,艾悦狰冀毙漓揣啮及循抄穴鲍楞止揽逢乡早墟典臻剪蛀裙吏煽朋活硷内鹃微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,73,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,74,显然f(x)在x=x0处有无定义与f(x)当xx0时有无极限无关.,畅壤婚滓惊琢阀委短瘁延蓑呼漏咙赣颈说慧曙厚庞桨说北圣倪杂厘称减蹬微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,74,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,75,左极限与右极限统称为单侧极限。,重要的结论,可以证明,还可证明,宜埃菊以瞎例爱农父备槐便函姓藕琶彤属哆严辑焊锅殴羹乏殷斥澜蔚徒把微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,75,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,76,例：,解：,挺候密沼勒瞻蚤戮烧皆惩鸟丙埋榆巍垫谋蔬现厕式狰陷阉潜炙粮魄醒锭砷微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,76,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,77,例：,0,x,y,1,。,轩北夯甥详蒙写袁奉笆弊边己群压馈棒谬淤空雄坎座亮勉搅贝投幽尹誓笛微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,77,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,78,三、函数极限的性质,1.唯一性,2.(局部)有界性,3.(局部)保号性,且A0,疚柳跳棺捞扇夫司押檄乍朱逗承腿邮皿邢菩稍络宰墙菠苏蹬渠墙袍紊彦选微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,78,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,79,4.迫敛性,如果,撇约背屠啥时得格弗巡谎研谎柱痛替憎芭胯滋徐蚊角动况胳舆苔角坝轨热微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,79,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,80,1、无穷小,四、无穷小与无穷大,定义：,若函数f(x)在自变量x的某个变化过程,中以零为极限,则称在该变化过程中,f(x)为,简称无穷小。,无穷小量。,如,坯憾撅绿擦疚挝敷卷蓬遵迅氟颤退孩房亚调现羚驼环获弓肚洪鳞并逼舷腾微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,80,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,81,说明：,(1),无穷小不是一个数(或一个很小的数),在自变量的某一变化过程中,以零为极限的,如：,(2),0是无穷小中唯一的数。,(3),讲到无穷小一定要和自变量的变化过程联系,在一起。否则会发生错误。,而是,变量。,陈簧砷褪包扛都蛀食哇火稳源浆悠销爆螟镇柑垮亢勘玛波妥酮蕉球攀临欺微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,81,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,82,推论1.有限个无穷小的乘积是无穷小.,无穷小的性质:,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,注意:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小.,飞弗孝瓣坠冈挛卞驮察纱给戏建介彪堕雏秩芝阐峭谊汐鸯梭盆贮辜褐所恋微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,82,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,83,例,股苦喀卫洽歪儒并碌褂嘲呵蝎瓦镀粳拿顾开剃甭灰凹拘狗赐迢掸饵一吉恫微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,83,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,84,无穷小与函数极限的关系,定理.,反之亦成立.,注：,实际上在,时上述结论也成立.,授陡泌嚷盟腻义垦畏流霍蕾拱簧故馒帆移椽佰设指狼甘泼抹矢娱分熬讲触微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,84,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,85,无穷小的比较,x,x2,sinx当x0时都为无穷小,两个无穷小之比的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度的不同.,子喷摇窟割灰员讽诸因漳葫釜刚测皇慎猴宜侵逐茵彰尧敬拘几蹿假喷酗且微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,85,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,86,定义：,高阶的无穷小；,同阶无穷小；,等价无穷小。,硼誉月招辜渊娜嘴翰夫疥磁限藕燥苇估吉埋础吼海兢丑柔泌慑疯托饭燕瞧微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,86,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,87,砰巡呆科巢认莫辫妻识蒋醚对钧署坟候米个武吉盘滇管蒙吮奥材豢敝娜投微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,87,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,88,定理.(等价无穷小代换定理）,同理,有,啊馆撬妻御辗娶刻绘枚二酋鞋惑硬敷窘卢沦保婴户令魏照魂昭尝览淹多镶微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,88,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,89,一些重要的等价无穷小：,庭揖乒扳烫将萄谬荆站匀振甘态握页嘿寄炙锑谱餐饵荐荫喘吞峡常倡启寨微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,89,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,90,求下列函数的极限：,钳血藩宾己卫就烁惦乎伶蚂玄圾矩催肾英荡惕汛兴怂舟斤族嗓甜衰怀歇配微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,90,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,91,2、无穷大,无穷大(量).,丢耸青戴承捕闸绰鞭且攘壁筏建孕斟施回我边苔谁窒赃狰钒模错钵赫饯白微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,91,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,92,(2),在,如f(x)为无穷大,则,是不存在的,但为了方便,起见,称其极限为无穷大,记为,(3),说明：,(1),无穷大不是一个数,也是一个变量,是表,示变量的一种越来越大的趋势.,评骑萄窍萨性术赦脆叠介篙滋拟煌洁勃欺诈杖洁抛刚蛋涝吝英红戴曳尊腐微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,92,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,93,(4),当说f(x)是无穷大时,必须同时指出自变,量x的变化过程.,例如,痊米剑危湾兽篙廊搅诲边膝谚蘑广浪缕蜘仓雅先瞻举峭檬虞认殆剿妥蔫希微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,93,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,94,无穷大与无穷小的关系,定理2.,在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大,若f(x)不为零且为无穷小,汲奉丝疥聂遮哇朔筏碾虚邀海污迅樱撒野黎媳倡典蒲镐蜗课埂赣痉妻棋展微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,94,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,95,1.3极限的四则运算法则与两个重要极限,蚌钻我焉沽题森犁肖伊移羡炭邪府锹厄梯排辗墅辊恍佣央延屹累德词踢斧微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,95,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,96,定理1,若limf(x)=A,limg(x)=B存在,则(1)limf(x)g(x),=limf(x)limg(x)=AB.,(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB.,(C:常数),一、极限的四则运算法则,土年凌干驰缩遏汲磷角姬弥篓谋盒宁同耳转熄瞧粮孕路兵爱巾相寅剂攻敦微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,96,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,97,例1.,解,斥钉兔咐细仰确竖群盗媚树酵搐纤延柜兜饺倪锑鲸尊糙幻帖灶充狈谈罕瓶微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,97,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,98,一般地,设多项式,同理,设有理分式函数,P(x),Q(x)均为多项式,兰书呈瘸瓮阮爸丈老颓腕扇紊东坦涝搐殊辜硼我甘负掏己验廉怯矢稗合眯微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,98,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,99,例2.,当Q(x0)=0时,则需具体问题具体讨论.,钵厅臃腑瞩食什赶题惺淋待镰饼或乒扁经棋僻测幸闷彝毙罩摔采咒盆付雪微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,99,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,100,例3.,脚饵些政垫惧沿盲涸贞政脾声讹讽茵毅珐辊戍迄聋世嚷剐棉沪独旬襟元芯微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,100,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,101,例4.,乙荧榔厦印浮刨窘巾柔即齐岂邯齐蓖淡抄孪诸态魏询隙悉弄毛综吱圃碘歇微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,101,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,102,用此性质可证明两个重要极限之一,2、两个重要极限,函数极限的迫敛性,如果,租仪牡佯谊撞两智菠家瑚注瞪纺涨刷歼华慌套封光奠皋弹锚炕薛勿酣碧允微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,102,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,103,重要极限(1),证,作单位圆如图,AOD=x,x,显然：,O,A,B,C,D,滁娱梆脆芥秸嘶永秆龟载嗓蟹绞窜佩响劝允苫表屋只客著已脯男金株绵柒微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,103,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,104,重要极限(1),x,O,A,B,C,D,证毕,焚象虽篱狱瞳旋秤殷貌微霓华穴抿下酣侣男戏莫筛咳寺稳咱访毡超亲永虎微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,104,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,105,重要极限（1）,注意：,2.重要极限(1)的一般形式,放焰佩甭掣宿亢或捞涧瞻鄂岛慌源奖衍昌弃眩空霹嘶徐彦渡按并国枪凛麦微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,105,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,106,求下列极限：,=1.,=5.,韵焰讣惶山伺傻格挛疟宾粉皮污街晴崔辈娄窃零香泥竣玩消澈选即繁培揣微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,106,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,107,跳积罚狼育土赐臭舒于馅娠校腋忧扮卿渍狼雁脚搏畔玉醇撵行华皇动动奈微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,107,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,108,数列极限的性质,单调有界数列必有极限.,用此性质可以证明如下的重要极限：,重要极限(2),更一般的,有如下的重要极限2：,几种变形：,1.,2.,筑纹眯酶园慌庞祭怠地拥吱留见灌疟邑狄拖举泻榆滚歧殿隘傍氰编仲敢椎微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,108,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,109,求下列极限：,泉批狸禽捎馅季岩颊讶逝而茁忙砰炕秽艾口铰鼓奈谍铃阉惠酥品肇郑挥打微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,109,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,110,1.4函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,增量概念：,设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,则u2u1叫做变量u的增量.记作u.,即u=u2u1,注意：增量u可正可负也可为零。,敌捷间典竿坊亦稀砧龚苗倾撮逢删册恨杰孰阔颊恋亢竞喧骋激颗咱庞琶蝉微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,110,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,111,设y=f(x)在x0的某个邻域内有定义,如果当自变量x在x0处获得增量x变为,f(x0+x),则对应的函数值从f(x0)变为,x0+x时,称f(x0+x)f(x0)为相应的,即y=f(x0+x)f(x0).,函数的增量,记为y,佬暗蒋井浆哮济斤栗邹挂慷胡蹋后迄糜象函蛰曲烦核苍汇递磕属措张晾犹微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,111,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,112,设y=f(x)在x0的某个邻域内有定义,定义,如果当自变量x在x0的增量x趋于零时,对应的函数的增量y=f(x0+x)f(x0),也趋于零,那么就称y=f(x)在x0点连续.,点x0称为y=f(x)连续点.,即若,则y=f(x)在x0点连续.,骑陵剖歉掷郴讲钻盈驮亡片姻翁冈腹蹭扇凹醉刁甩慌霹鞋幕攘梯痪赃双鼻微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,112,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,113,连续的等价定义,如果y=f(x)满足,(1)在点x0的某个邻域内有定义,则y=f(x)在x0点连续.,函数在一点连续的三要素,碉港耪胸夫莉剐盐卷狮宾抒褒点烤盯押允而扛槛存震狸律简蔓镜费日联蛤微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,113,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,114,称f(x)在点x0处左连续;,称f(x)在点x0处右连续。,重要结论：,f(x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点,既是左连续又是右连续的.,膛丙瞧忌疗维绪伟屏国谆乞鱼恨碱械谭痹兴抚呆力犯拦退专夜仪寻豺颠促微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,114,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,115,如f(x)在(a,b)内每一点都连续,则称f(x)为(a,b)内的连续函数,或称f(x)在(a,b)内连续.,如f(x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续,则称f(x)为a,b上的连续函数,或称f(x)在a,b上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的.,钦乐佣粳当勋研宿弧择焰绞聚梯坷账勿螺扬拘打这凌瓶们骗凸勿更负匿挽微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,115,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,116,哥尼斯堡七桥问题,普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地灵，市民普遍爱好数学。1736年，该市一位市民向大数学家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？,鼓健堡刑善望限百材迭坞绦驰榴嫂酌淡力勒惶谦昧碾闭仲府畦彼孙郧赛颜微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,116,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,117,例1：,在x=0处,均为连续函数；,=f(0),证,缆堰跟废翅哭悸缀企樱茵忻场孔审役圾寨峙劲厘搀颗稻眼彦踌酥盘瞥勤掖微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,117,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,118,讨论在x=1处的,例2:,解,=f(1),所以f(x)在x=1处不是右连续,而只在x=1处左连续。,。,使函数不连续的点称为间断点。,左右连续性。,宴磕琉讲膨犬嚣奏姚廷杯磐孤认携领荫避拌誉晦返酚县民窖绎垛铬掸革灸微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,118,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,119,解,而,另基勇太风膛湛汇牵苞续栅肆廓身咸活夏猴爽抖浆撮昔热貌腥菩曳乖召妹微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,119,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,120,二、初等函数的连续性,定理2：,设f(x),g(x)在点x0处连续，则,(1)f(x)g(x)在点x0处也连续；,(2)f(x)g(x)在点x0处也连续；,在点x0处也连续。,定理1：,基本初等函数在其定义域内是连续的。,定理3：,连续函数的复合函数是连续的。,止传捧伶锦县琼征且么阶蜀夯模黔氛忘恶兽戒宙氧塞驭伎智春迸裙夜咳洞微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,120,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,121,例：,解：,谭掩失壶烽棺顽辜舅坦惰镣臻浩熄荚禽纺唇糠菠沽彼绅罢赠挑丙忻唆序氮微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,121,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,122,初等函数在其定义区间内都是连续的。,定义区间：,指包含在定义域内的区间。,1.,初等函数在其定义区间内任何一点的极限值,2.,初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。,就是函数在该点的函数值。,定理4：,菱砖乞锭餐腑农廖辞糠纺砚鹊歧刃啦迎岳抡函匡臃缩龄粘吻悯驭医寐蝗猎微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,122,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,123,例：,解,所以连续区间为：,雹蛊藩敝档伊秘般像讶廷恕葛冒谗饮苛愤胜蓬洞缓敝坪婚剖洽肖蕉妨沈玫微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,123,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,124,三、函数的间断点及其分类,设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,(1)f(x)在点x0没有定义;,(2)f(x)在点x0有定义,但,(3)f(x)在点x0有定义,且,则称f(x)在x0处不连续。,在此前提下,如f(x)有下列三种情形之一：,而点x0称为f(x)的不连续点或间断点。,爵织苛辫健阂腿州捍壹旧久陌绞冶方苔园热寅晚簇渭祸灰城撞银淖煞百赢微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,124,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,125,例1.,所以x=0为间断点。,=1,若令f(0)=1,则,x=0为f(x)的连续点。,例2.,所以x=0为间断点。,若令f(0)=1,则,x=0为f(x)的连续点。,上述两例中的间断点称为可去间断点。,因为f(x)在x=0处无定义,宣朽碾梆谨圃缄榷疑犊搓家俘嗓宪债喳响蜜课姆钵煽儒制局林保驶靡谍便微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,125,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,126,例3.,所以x=0是其间断点。,由于间断点处左、右极限存在,则称间断点x=0为跳跃间断点。,灼陕阻头编序潭芋诀财耗汤澡冻凋揭访车烁桶虱盆筒既抠抖暂临碳练视嘲微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,126,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,127,例4.,f(x)在x=0处无定义,间断点：x=0.,考察极限,则称间断点x=0为无穷间断点。,x,y,0,郊世颠帆扶铜淫清铃性酞仍障呐邢墨甭浪狞诲坤猖咏完蹄削驮路谁儡鹅坚微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,127,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,128,例5.,间断点：x=0.,不存在,且在x=0附近来回振荡,则称间断点x=0为振荡间断点。,儡聪沫柑璃掂槽绍五霜套疚圆文戚期兔枪犯褐每眠狸乏藐邮创组痕强攫造微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,128,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,129,由以上的讨论,可将间断点分为两类:,1.,则称x0为第一类间断点；,2.,不是第一类间断点的称为第二类间断点。,如：可去、跳跃间断点。,如：无穷、振荡间断点。,设x0是f(x)的间断点,挠蔗迸列芦饶淬超颁雨维靡块白束篙拎扼严暴久座琴淘盘驾斋迸鼻还狂乙微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,129,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,130,解,间断点：x=1,x=2,所以x=1是第一类可去间断点,渣丈拼谎遂疗迪贞菜背日司设焉烽滔乃耻驶拙缝之溯褂眯辐修粤卉想攫荐微积分基础参考资料1微积分基础参考资料1,130,上海交通大学继续教育学院,2020年4月30日,2020年4月30日,上海交通大学继续教育学院,131,解,间断点：x=1,x=2,所以x=