常微分方程 奇解与包络

.,2.4奇解,/Singularlysolution/,.,2.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,.,利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点。,解：容易看到y=0是解，并且满足给定的初始条件,例1,得通解,由,.,.,x,y,.,定义2.3如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线,.,一包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,.,.,例单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。,.,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如:单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见,此曲线族没有包络.,.,二、不存在奇解的判别法,假设方程(1.9)的右端函数,在区域,上有定义，如果,在D上连续且,在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。,有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。,如果存在唯一性定理条件不是在整个,.,.,定理2.6方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。,证明：应用定理2.1积分曲线与线素场的关系的充要条件,.,三求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去C而得到的曲线中。,.,设由,能确定出曲线为,则,对参数C求导数,从而得到恒等式,.,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C)处均与曲线族中对应于C的曲线相切。,注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,.,例1求直线族,的包络，这里是参数，p是常数。,解：,对参数求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,.,例2求直线族,的包络，这里c是参数。,解：,对参数c求导数,联立,得,从得到,从得到,因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。,.,.,2p-判别曲线,结论：方程的奇解包含在下列方程组,消去p而得到的曲线中。,注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,.,例3求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而是方程的解，且正好是通解的包络。,.,例4求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意：以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,.,3克莱罗方程,形式,其中,是p的连续函数。,解法,通解,奇解,.,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.,.,例5求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去c，得到奇解,从,.,x,y,O,如图:,此方程的通解是直线族:,而奇解是通解的包络:,.,例6求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解设要求的曲线为,过曲线任上一点的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,.,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,.,直线族及其包络线,.,.,利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下:注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切.restart:with(plots):forjfrom-5to-1doplot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:enddo:forjfrom1to5doplot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:enddo:plot(3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):yy:=%:plot(-3*x,x=-3.3,y=-10.10,color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);,.,本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一,（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解