第7章_线性离散系统的分析与校正方法

.,自动控制原理,泰山学院物理与电子工程学院自动控制原理课程组,.,7线性离散系统的分析方法,7.1离散系统的基本概念7.2信号采样与保持7.3z变换理论7.4离散系统的数学模型7.5离散系统的稳定性与稳态误差7.6离散系统的动态性能分析,.,本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析方法。,本章重点了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；熟练掌握Z变换的定义、性质和逆Z变换方法；了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法；了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法；掌握线性离散系统的分析方法和原则。,.,控制系统中有一个以上部件的输出信号是一串脉冲形式或是数数字（数码），由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）,7-1离散采样系统的基本概念,.,炉温采样控制系统,.,炉温采样控制系统,炉温计算机（数字）控制系统,7-1离散采样系统的基本概念,.,脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。,数字控制系统的特点：,（1）在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；（2）通常采样周期远小于被控对象的时间常数；（3）采样开关合上的时间远小于断开的时间；（4）采样周期通常是相同的。,.,数字控制系统中的两个关键部件：A/D转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），A/D转换器可以认为采样周期为TS的理想采样开关。,D/A转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。,7-1离散采样系统的基本概念,采样时间上离散,量化数值上离散,零阶保持器(ZOH),.,离散采样系统的研究方法（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2）用离散系统的状态空间分析法对系统进行分析、设计。（略）,7-1离散采样系统的基本概念,.,7-2信号的采样与保持,1、采样过程2、理想采样过程的数学描述3、采样信号的Laplace变换4、香农采样定理5、信号保持,.,1、采样过程：,7-2信号的采样与保持,连续信号采样器离散信号,采样器的物理实现：DAC,.,2、理想采样过程的数学描述,3、采样信号的Laplace变换,7-2信号的采样与保持,.,例1设，求的L变换,例2设为常数，求的L变换,7-2信号的采样与保持,.,如果采样器的输入信号具有有限带宽，各分量最高频率为，则只要采样周期满足以下条件：,信号即可从采样信号中恢复过来。,7-2信号的采样与保持,4、香农采样定理,工程上采样周期的选取原则,满足香农采样定理前提下，采样周期尽量小；满足采样周期尽量小和计算量、存储量的平衡；采用经验公式选择。,.,香农(Shannon)采样定理信号完全复现的必要条件,.,5、信号保持D/A转换器的输出信号是台阶型的，在其内部是“保持器”在起作用。,信号保持器：实现数字信号与模拟信号的转换，数学实质是解决采样点之间的差值问题（通过外推实现）,7-2信号的采样与保持,一般外推公式：,.,当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则单位脉冲响应（输出）为：,对应的L变换,7-2信号的采样与保持,5.1零阶保持器ZOH,.,零阶保持器的特性：（1）低通特性（2）相角迟后特性（3）时间迟后特性（平均迟后时间T/2）,7-2信号的采样与保持,零阶保持器的频率特性,.,零阶保持器对系统的影响,5.2一阶保持器,.,课程小结,7.1离散系统,离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码,7.2信号采样与保持,A/D:,D/A:,用ZOH实现,Shannon定理,或,.,7.3Z变换理论,解,解,.,注：,一、z变换定义,z变换只对离散信号而言,E(z)只对应惟一的e*(t)，不对应惟一的e(t),二、z变换方法,7.3z变换理论,.,例4,例3,7.3z变换理论,.,例5,解.,7.3z变换理论,采样函数的z变换是变量z的幂级数。,.,例6,解.,求E(z)=?,7.3z变换理论,.,常见函数的z变换,7.3z变换理论,.,1.线性性质,三、z变换的基本定理,2.实位移定理（时移定理）,延迟定理,7.3z变换理论,.,2.实位移定理,超前定理,7.3z变换理论,.,3.复位移定理,例7,7.3z变换理论,.,4.初值定理,证：,例8,7.3z变换理论,.,5.终值定理,例9,证：,7.3z变换理论,.,6.卷积定理,设：,则：,四、Z反变换,7.3z变换理论,线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示,.,7.3z变换理论,.,解法II:(查表法部分分式展开法),7.3z变换理论,.,解法III:(留数法反演积分法),7.3z变换理论,.,查表法：,7.3z变换理论,.,留数法：,7.3z变换理论,.,解.,7.3z变换理论,.,五、Z变换的局限性,（1）只反映采样点上的信息；,（2）以下条件不满足时，连续信号在采样点处会有跳变。,+零阶保持器,7.3z变换理论,.,7.3小结,.,7.3小结,1.线性性质,7.3.3z变换的基本定理,2.实位移定理,延迟定理,3.复位移定理,超前定理,4.初值定理,5.终值定理,6.卷积定理,.,7.3小结,7.3.4Z反变换,幂级数法（长除法）,查表法（部分分式展开法）,留数法（反演积分法）,以的形式展开,本次课程作业P346：72,3（1），4，5,.,一、离散系统的数学定义二、差分方程及其解法三、脉冲传递函数的定义和推导四、开环系统脉冲传递函数五、闭环系统脉冲传递函数,7-4离散系统的数学模型,.,数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式图形化：结构图,一、离散系统的数学定义,将输入序列r(n)变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统.,线性离散系统离散系统满足叠加原理,则称为线性离散系统。线性定常（LTI）离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统,7-4离散系统的数学模型,.,二、差分方程及其解法,(1)差分的概念差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分有前向差分和后向差分之别。见右图。连续函数f(t)，经采样后为f*(t)，在kT时刻，其采样值为f(kT)，常写作f(k)。,两个采样点信息之间的微商即称为差分。,7-4离散系统的数学模型,.,一阶前向差分的定义：二阶前向差分的定义：n阶前向差分的定义：,7-4离散系统的数学模型,.,一阶后向差分的定义为：二阶后向差分的定义为：n阶后向差分的定义为：,7-4离散系统的数学模型,.,(2)差分方程若方程的变量除了含有f(k)本身外，还有f(k)的各阶差分f(k)、2f(k)、nf(k)，则此方程称为差分方程。,描述LTI离散系统动态过程的差分方程一般形式：,7-4离散系统的数学模型,.,例1已知一阶差分方程为：设输入为阶跃信号u(kT)=A，初始条件y(0)=0，试求响应y(kT)。,7-4离散系统的数学模型,解将差分方程两端取z变换，得：,(3)差分方程解法：经典法、迭代法、z变换法,.,代入初始条件，求得输出的z变换为：为求得时域响应y(kT)，需对Y(z)进行反变换，先将Y(z)/z展成部分分式：,7-4离散系统的数学模型,查变换表，求得上式的反变换为：,.,三、脉冲传递函数(1)脉冲传递函数的定义,7-4离散系统的数学模型,离散过程的结构图,在零初始条件下:,.,在输出端增设虚拟采样开关，输出的单位脉冲响应：,7-4离散系统的数学模型,.,7-4离散系统的数学模型,（2）脉冲传递函数的推导,(1)由单位脉冲响应推出,(2)由拉氏变换求出,(3)由差分方程求出,.,例2求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。,解：由实数位移定理：,7-4离散系统的数学模型,例3,.,四、开环离散系统的脉冲传递函数,1、采样L变换的两个重要性质：（1）采样函数的L变换具有周期性(系统脉冲传递函数与采样周期大小有关),7-4离散系统的数学模型,（2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘（串联），则其乘积的离散化等于两者离散化后再相乘。,.,7-4离散系统的数学模型,.,2、具有串联环节的开环脉冲传递函数,串联形式（1）,7-4离散系统的数学模型,连续对象的输出：,其中：,对输出的离散化：,注意：,.,串联形式（2）,7-4离散系统的数学模型,.,3带有零阶保持器的开环脉冲传递函数,离散化：,7-4离散系统的数学模型,.,例4：设对象传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：,7-4离散系统的数学模型,解：,.,7-4离散系统的数学模型,当为s的有理分式函数时，的Z变换也必然是s的有理分式函数。,.,五、离散系统闭环脉冲传递函数,连续输出信号的L变换,7-4离散系统的数学模型,.,对应的Z变换为,闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数：,系统误差对于输入的脉冲传递函数：,闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数,注意：离散系统闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。,7-4离散系统的数学模型,.,例5闭环系统中具有两个以上采样开关时的闭环脉冲传递函数？,7-4离散系统的数学模型,.,对应的闭环系统脉冲传递函数,7-4离散系统的数学模型,.,系统输出,P312表7-3典型闭环离散系统及输出的Z变换函数,7-4离散系统的数学模型,闭环系统中采样开关的位置不同，有可能不能获得闭环脉冲传递函数,.,闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法假设把离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号。否则需相乘后才打“*”号。取Z变换，把有“*”号的单项中的s变换为z，多项相乘后仅有一个“*”号的其Z变换等于各项传递函数乘积的Z变换。,7-4离散系统的数学模型,.,Z变换的局限性：（1）Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大时间常数相比很小时，Z变换才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采样时刻的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。（3）用Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高2次，这时用Z变换方法得到的结果是正确的。,7-4离散系统的数学模型,.,设输入信号为单位阶跃函数,但实际上，电路的实际输出是作用下的输出，c(t)表现为充放电过程。,采样周期T=1秒，对应的Z变换：,7-4离散系统的数学模型,.,一.采样系统的稳定性分析s域到Z域的映射离散系统稳定的充要条件离散系统的稳定判据开环增益与采样周期对稳定性的影响二.采样控制系统的稳态误差离散系统稳态误差的影响因素离散系统的型与静态误差系数,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,一、离散系统的稳定性的分析方法线性连续系统在s平面上稳定性分析方法,1.s域到z域的映射关系,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,离散线性系统在z平面上的稳定性分析。,.,1)S平面左半部分在Z平面上的映射S平面左半部分每一条宽度为s的带状区域，映射到Z平面上，都是单位圆内区域。2)S平面右半部分在Z平面上的映射因此，整个S平面右半部分在Z平面上的映像是以原点为圆心的单位圆外部区域。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,s平面上的虚轴映射到z平面上的轨迹是以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈.,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,结论：s平面上虚轴（=0）映射为z平面上单位圆；等线的左半平面（0）映射为单位圆的外部。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,（2）等线映射（略）（3）等线映射（略）,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,（2)离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。,（1）离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。,线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，即系统传递函数的极点严格均在左半s平面。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,2、离散系统稳定的充要条件,.,（1）离散系统稳定的充要条件（时域）设：系统差分方程,系统齐次方程,设通解：,系统特征方程：,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,设特征方程具有各不相同的特征根：,通解：,系统稳定的充分必要条件：当且仅当差分方程所有特征根的模均小于1，则相应的线性定常离散系统是稳定的。即所有的闭环极点均应分布在Z平面的单位圆内。只要有一个在单位圆外，系统就不稳定；有一个在单位圆上时，系统处于稳定边界。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,（2）离散系统稳定的充要条件（z域）,典型离散系统结构,系统特征方程,假设特征方程的根（闭环极点）各不相同,由s平面到z平面的映射关系，系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,例：设典型离散系统,采样周期T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。,解：开环脉冲传递函数,特征方程,结论：闭环系统不稳定。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,3、离散系统的稳定性判据,连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？（1）劳斯判据推广到离散系统的稳定性判定（2）朱利判据,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,(1)W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据,可设,显然：,考察上式：在z平面的单位圆上，满足对应在w平面上：表明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,令,.,Z平面单位圆内,Z平面单位圆外,w平面左半平面,w平面右半平面,劳斯稳定判据在离散系统中的应用方法：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,例7-28：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时K的极限值。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,进一步整理后，w域的特征方程：,劳斯表,由劳斯稳定判据,使系统闭环稳定的取值范围,临界增益,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,补例设系统的特征方程试用W平面的劳斯判据判别稳定性。,解：将：代入特征方程得：,.,因为第1列元素有2次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。劳斯表第一列有2次变号，即有2个根在W右半平面，也即有两个根在Z平面的单位圆外，这是劳斯判据的优点之一。,由劳斯表,.,（2）Jury（朱利）稳定判据,Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程D(Z)=0的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。,设n阶离散系统的闭环特征方程,利用特征方程的系数，构造(2n-3)行、（n+1）列Jury矩阵。,Jury矩阵的第一行系数：,Jury矩阵的第二行系数：,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,第三行系数第四行系数,第五行系数第六行系数,第七行系数第八行系数,最后行系数,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,Jury稳定判据：特征方程D(Z)=0的根，全部严格位于z平面上单位圆内的充要条件是：,以及下列（n-1）个约束成立：,若上述条件满足，系统不稳定。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是,推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式,的根全部都在单位圆内的充分条件是：,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,【补例】设一离散时间单位反馈系统，采样周期T=1（s），其开环脉冲传递函数,试用Jury稳定判据确定系统的K值范围。,解：闭环特征方程,对于二阶系统应用Jury稳定判据只需满足下面3个约束条件：,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,综合（1）、（2）、（3）,例7-29（自学）,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,4、采样周期与开环增益对稳定性的影响,连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期T。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,由Jury稳定判据或w域的劳斯稳定判据,w域的特征方程,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,P327图7-42结论：（1）在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小。（2）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；（3）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,(2)K=1,不同采样周期时的单位阶跃响应:,.,二、离散系统的稳态误差,连续系统稳态误差的求法：（1）L变换的终值定理；（2）静态误差系数法,1、利用z变换的终值定理求稳态误差由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式。例：,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z平面上的单位圆内。由z变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差即稳态误差。,稳态误差影响因素：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期T有关。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,例7-31：,试求离散系统相应的稳态误差。,.,解：,系统闭环稳定。,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,其他结构形式离散系统的稳态误差，以及离散系统在扰动作用下的稳态误差求法：在离散系统稳定前提下，先求出系统误差E(z）或En(z)，再应用z变换的终值定理求解,.,2、离散系统的型别与静态误差系数,离散系统的型别：根据开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点个数来确定。,分别称为0型、1型、2型等等。,不同型别离散系统在三种典型输入信号下的稳态误差,（1）单位阶跃输入时的稳态误差,.,0型系统,1型及以上的系统,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,（2）单位斜坡输入时的稳态误差,.,0型系统,7-5离散系统的稳定性与稳态误差,.,（3）单位加速度输入时的稳态