2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学二诊试卷（理科）（含解析）

2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学二诊试卷（理科）一选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集，2，3，4，集合，则集合等于A，2，B，C，4，D，2（5分）复数A1BCD3（5分）近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在，两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据分别来自两组的取法种数是A10B13C15D184（5分）已知直线 和平面，则的一个必要条件是A，B，C，D，与成等角5（5分）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是A7BC21D6（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A24里B48里C96里D192里7（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是ABCD8（5分）已知，在平面直角坐标系中，点为平面区域内任一点，则坐标原点与点连线倾斜角小于的概率为ABCD9（5分）已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于，两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为ABCD10（5分）若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是A4BC2D11（5分）已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为AB1C2D12（5分）已知函数，又，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13（5分）若在正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则14（5分）已知实数，满足，则的最小值为 15（5分）给出下列四个命题：命题“，”的否定是：“，”；若，则的最大值为4；定义在上的奇函数满足，则（6）的值为0；已知随机变量服从正态分布，则；其中真命题的序号是 （请把所有真命题的序号都填上）16（5分）已知向量，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，则的值为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知，若，且的图象相邻的对称轴间的距离不小于（1）求的取值范围（2）若当取最大值时，（A），且在中，分别是角，的对边，其面积，求周长的最小值18（12分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均在35微克立方米以下空气质量为一级，在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级，在75微克立方米以上空气质量为超标北方某市环保局从2015年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示（十位为茎，个位为叶）（1）15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级19（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：平面；（2）设为直线与平面所成的角，求的值；（3）设为中点，在边上求一点，使平面，求的值20（12分）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，求曲线和的方程；设点是上一点，若，求的面积21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对定义域中的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对任意正整数，不等式恒成立选做题（请从下面的22，23二道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的提号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；如果多答，按所答第一题评分.）选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数（）解不等式；（）若，求证：2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集，2，3，4，集合，则集合等于A，2，B，C，4，D，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】：集合【分析】求出中方程的解确定出，进而确定出，求出与的并集，找出并集的补集即可【解答】解：由中方程，解得：或，即，2，全集，2，3，4，故选：【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）复数A1BCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数的性质、运算法则直接求解【解答】解：故选：【点评】本题考查复数的性质及求法，考查复数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在，两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据分别来自两组的取法种数是A10B13C15D18【考点】：频率分布直方图【专题】38：对应思想；：定义法；：概率与统计【分析】根据题意求出在，和，内分别抽取的数据个数，再计算得到的2个数据分别来自两组的取法种数【解答】解：根据频率分布直方图知，在，两组内的数据频率比是，按分层抽样方法抽取8个数据，内取5个，内取3个；再从这8个数据中抽取2个，得到的2个数据分别来自两组的取法种数是故选：【点评】本题考查了频率分布直方图与分层抽样以及分步计数原理的应用问题，是基础题4（5分）已知直线 和平面，则的一个必要条件是A，B，C，D，与成等角【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；：空间中直线与直线之间的位置关系；：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】11：计算题【分析】、可以都和平面垂直，推断是不必要条件；、可以都和平面平行，可推断是不必要条件；没理由一定要在平面内，可推断出是不必要条件；最后平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以推断是必要非充分【解答】解：、可以都和平面垂直，不必要、可以都和平面平行，不必要没理由一定要在平面内，不必要平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分故选：【点评】本题主要考查了空间直线与直线之间的关系，必要条件，充分条件与充要条件的判断熟练掌握判断充分条件，必要条件和充分必要条件的原理，是解题的关键5（5分）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是A7BC21D【考点】：二项式定理【专题】11：计算题【分析】给二项式中的赋值，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出；将的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项，求出展开式中的系数【解答】解：令得展开式的各项系数之和，解得展开式的通项为，令，解得所以展开式中的系数是故选：【点评】本题考查通过给二项式中的赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题6（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A24里B48里C96里D192里【考点】89：等比数列的前项和【专题】33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人二天走步故选：【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题7（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是ABCD【考点】：程序框图【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得结论【解答】解：根据程序框图，运行结果如下： 第一次循环 2 1 5第二次循环 3 2 1第三次循环 4 3 第四次循环 5 4 退出循环，故判断框内应填入的条件是故选：【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题8（5分）已知，在平面直角坐标系中，点为平面区域内任一点，则坐标原点与点连线倾斜角小于的概率为ABCD【考点】：简单线性规划；：几何概型【专题】31：数形结合；48：分析法；59：不等式的解法及应用；：概率与统计【分析】分别作出可行域和坐标原点与点连线倾斜角小于的区域，再由定积分计算面积，相除即可得到所求概率【解答】解：作出平面区域，如图在第一象限（包括轴），作出直线与在第一象限的部分，如右图，可行域的面积为，由，可得斜线部分的面积为，即有所求概率为故选：【点评】本题考查几何概率的求法，注意运用定积分计算面积，考查运算能力，属于中档题9（5分）已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于，两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题【分析】由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，设，由可得方程，解之可得，可得，由可得，斜率之积等于，进而可得的关系式，结合双曲线的关系，可得离心率【解答】解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，设，解之可得，由可得，斜率之积等于，即，化简可得，即，解之可得，即故选：【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题10（5分）若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是A4BC2D【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；：直线与圆的位置关系【专题】52：导数的概念及应用【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆相切，可得，利用基本不等式，可求的最大值【解答】解：求导数，可得令，则又，则切线方程为，即切线与圆相切，的最大值是故选：【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查基本不等式的运用，属于中档题11（5分）已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为AB1C2D【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】15：综合题；：空间位置关系与距离【分析】根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长【解答】解：这个正四面体的位置是放在桌面上，平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图设球的半径为：，由正四面体的体积得：，设正方体的最大棱长为，故选：【点评】本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力12（5分）已知函数，又，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为ABCD【考点】57：函数与方程的综合运用；：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】函数化成分段函数，通过求导分析得到函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，求得函数在上，当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在，内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解的取值范围【解答】解：，当时，恒成立，所以在，上为增函数；当时，由，得，当时，为增函数，当时，为减函数，所以函数在上有一个最大值为，要使方程有四个实数根，令，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在，内，再令，因为，则只需，即，解得：所以，使得函数，方程有四个实数根的的取值范围是故选：【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13（5分）若在正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则45【考点】81：数列的概念及简单表示法【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】由对任意的正整数，该数列中恰有个，可知数列为：1，2，2，2，3，3，3，3，3，假设在第组中，由等差数列的求和公式求出前组的和，解不等式，得到值后加1得答案【解答】解：对任意的正整数，该数列中恰有个，数列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，设在第组中，则，解得：在第45组中，故故答案为45【点评】本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，是中档题14（5分）已知实数，满足，则的最小值为【考点】：圆的标准方程【专题】：直线与圆【分析】由已知得，从而，进而【解答】解：实数，满足，展开得：，得：，的最小值为故答案为：【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用15（5分）给出下列四个命题：命题“，”的否定是：“，”；若，则的最大值为4；定义在上的奇函数满足，则（6）的值为0；已知随机变量服从正态分布，则；其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）【考点】：命题的真假判断与应用【专题】14：证明题【分析】根据全称命题的否定方法求出原命题的否定，可判断；利用基本不等式及对数的运算性质，判断的取值范围，可判断；利用奇函数的特性，结合已知，可求出（6）的值，可判断；根据正态分布的对称性，求出可判断【解答】解：命题“，”的否定是：“，”，故正确；由得，且，解得，故的最小值为4，故错误；由函数为定义在上的奇函数，故，又由，故（6）（4）（2），故正确；由随机变量服从正态分布，则，故正确；故答案为：【点评】本题利用命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题的否定，基本不等式，函数的性质，正态分布，熟练掌握各种基本知识点是解答的关键16（5分）已知向量，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，则的值为【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】34：方程思想；41：向量法；56：三角函数的求值；：平面向量及应用【分析】可设，由题意可得，由两角和的正切公式，可得，再由同角的基本关系式可得，再由正弦定理可得，由数量积的定义即可得到所求值【解答】解：可设，由题意可得，则，即为，又，为锐角，可得，同理可得，由正弦定理可得，即有，则故答案为：【点评】本题考查向量的数量的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知，若，且的图象相邻的对称轴间的距离不小于（1）求的取值范围（2）若当取最大值时，（A），且在中，分别是角，的对边，其面积，求周长的最小值【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质；58：解三角形【分析】（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果（2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果【解答】解：（1），又由条件知，所以（2）当取最大值1时，又，所以，故在中，又由余弦定理有：，周长，当且仅当时取得等号所以周长的最小值为6【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，余弦定理和三角形面积公式的应用18（12分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均在35微克立方米以下空气质量为一级，在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级，在75微克立方米以上空气质量为超标北方某市环保局从2015年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示（十位为茎，个位为叶）（1）15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】34：方程思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）依据条件，服从超几何分布，其中，这15天中空气质量达到一级的天数，的可能取值为0，1，2，3即可得出分布列（2）依题意，可知一年中每天空气质量达到一级的概率为设一年中空气质量达到一级的天数为，则，即可得出【解答】解：（1）依据条件，服从超几何分布，其中，这15天中空气质量达到一级的天数，的可能取值为0，1，2，3其分布列为：即： 0 1 2 3 （2）依题意，可知一年中每天空气质量达到一级的概率为设一年中空气质量达到一级的天数为，则，所以天所以一年中大约有120天的空气质量达到一级【点评】本题考查了超几何分布列与二项分布列的计算公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：平面；（2）设为直线与平面所成的角，求的值；（3）设为中点，在边上求一点，使平面，求的值【考点】：简单空间图形的三视图；：直线与平面平行；：直线与平面垂直；：直线与平面所成的角【专题】15：综合题【分析】（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直 以为坐标原点，分别以，所在直线别为，轴建立空间直角坐标系，证出，后即可证明平面；（2）求出平面的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线与平面所成的角（3）设，0，为上一点，由平面，得知，利用向量数量积为0求出的值，并求出【解答】（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直 （2分）以为坐标原点，分别以，所在直线别为，轴建立空间直角坐标系，则，4，8，8，0，4，4，4，0，且与相交于，平面； （4分）（2）解：设，为平面的一个法向量，则 则；（8分）（3），0，设，0，为上一点，则，平面，又平面，平面，当时，平面（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确20（12分）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，求曲线和的方程；设点是上一点，若，求的面积【考点】：圆锥曲线的综合【专题】15：综合题【分析】设曲线的方程为，则根据，可得，设，则，由此可求曲线和的方程；过点作直线垂直于轴，过点作直线于点，依题意知为抛物线的准线，则，在中，设，则，由余弦定理可得，再利用三角形的面积公式，即可求得结论【解答】解：设曲线的方程为，则得设，则，两式相减可得：由抛物线定义可知，或，（舍去）所以曲线的方程为，的方程为；过点作直线垂直于轴，过点作直线于点，依题意知为抛物线的准线，则在直角中，在中，设，则，由余弦定理可得，【点评】本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，考查三角形面积的计算，求得方程是关键21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对定义域中的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对任意正整数，不等式恒成立【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值【专题】53：导数的综合应用【分析】（1）求出的导数，由此根据的取值范围进行分类讨论，能求出函数的单调区间（2）由于（1），当时，（1），此时对定义域内的任意不是恒成立的当时，由（1）得在区间上取得最小值为（1），由此能求出实数的取值范围（3）由（2）知，当时，当且仅当时，等号成立，这个不等式等价于由此能够证明对任意的正整数，不等式恒成立【解答】解：（1），当时，若，则，故函数的单调减区间是；若，则，故函数的增区间是当时，函数的单调减区间是；单调增区间是，当时，则，故函数的单调增区间是；当时，函数的单调递减区间是；函数的单调递增区间是，（2）由于（1），当时，（1），此时对定义域内的任意不是恒成立的当