绿色通道数学总复习23函数的奇偶数课件新人教A

1奇偶函数的定义(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有,f(x)f(x),奇函数,奇偶性,2具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是,原点,原点,y轴,偶函数,3函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于对称，若不对称，则函数是函数；若对称，再判定f(x)f(x)或f(x)f(x)有时判定f(x)f(x)比较困难，可考虑判定f(x)或判定(f(x)0),原点,非奇非偶,f(x)0,1,(2)性质法判定在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(b，a)上；奇函数在区间(a，b)与(b，a)上的增减性,递减(增),相同,4.奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性；偶函数在对称的两个区间上有的单调性,相同,相反,1对任意实数x，下列函数为奇函数的是()Ay2x3By3x2Cyln5xDy|x|cosx解析：A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数设yf(x)ln5xxln5，f(x)xln5f(x)答案：C,2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是(),答案：B,3已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)_.解析：f(x)为奇函数且f(3)f(2)1，f(2)f(3)f(3)f(2)1.答案：1,4下面四个命题：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题序号为_,解析：当yf(x)在x0处无定义时，都不正确；偶函数的图象关于y轴对称，正确；既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)0，xa，a(其中a可为任一确定的正实数)，错误答案：,5设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，求实数a的值解：f(x)(x1)(xa)，f(x)(x1)(xa)又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，(x1)(xa)(x1)(xa)，x2(a1)xax2(a1)xa，a1(a1)，a1.,(3)函数的定义域为R.若x为无理数，则x也是无理数，f(x)f(x)0；若x为有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1.综上可知，对任意实数x都有f(x)f(x)f(x)为偶函数,判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(x)的关系.,【例2】已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12)思路分析：(1)判断f(x)的奇偶性，即找f(x)与f(x)之间的关系，令yx，有f(0)f(x)f(x)，再想法求f(0)即可；(2)寻找f(12)与f(3)之间的关系，注意用(1)问的结论,解：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)f(3)a且f(x)为奇函数f(3)f(3)a.又f(xy)f(x)f(y)，x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2f(33)4f(3)4a.,变式迁移2函数f(x)，xR，若对于任意实数x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)试判断函数yf(x)的奇偶性,解：对于任意实数x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(0)f(x)由得，f(x)f(x)，yf(x)为偶函数,(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数,判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.,变式迁移3(2009山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.,解析：f(x4)f(x)，f(x)f(x4)f(x8)f(x8)知函数f(x)的周期为T8，又f(x)f(x4)，f(x2)f(x2)f(2x)，知函数f(x)关于直线x2对称函数f(x)大体图象为：x1x212，x3x44.x1x2x3x48.,答案：8,【例4】已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明：函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明：函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，