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第十四章幂级数,定义:,一.幂级数的收敛区间:,1幂级数,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域为下列4种情况之一：,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,(-R,R)称为幂级数的收敛区间.,证明,收敛半径的求法,由比值审敛法,定理证毕.,例2求下列幂级数的收敛域:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛域为(0,1.,解,发散.,收敛域为,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,定理3（Cauchy-Hadamard定理）,二、幂级数的一致收敛性,定理4:,证,由优级数法，得证。,注：,这里a,b不能改成（-R,R）.,定理5:,证,注：,此处0,R可改为a,R,a-R.,证毕。,三、幂级数的和函数性质,定理6:,证,由定理13.12可得。,求导得级数：,积分得级数：,定理7:,有相同的收敛区间，但收敛域可能不同。,求积后得的级数，收敛域可能扩大；,求导后得的级数，收敛域可能缩小。,证明:,另一方面，,由比较法得,矛盾！,综合（1）（2）定理7得证。,定理8,逐项求导,逐项积分,证,由定理7，（1）（2）中的级数收敛半径仍为R,证毕。,推论1,推论2,即幂级数的系数由和函数在0点的函数值和各阶导数值唯一确定。,由于奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，故得：,推论3,四、幂级数的运算,两个幂级数相等：,如果在x=0的某个邻域内有,相同的和函数，则称这两个幂级数在这个邻域内相等。,定理9：,代数运算性质:,(1)加减法,(其中,(2)乘法,(其中,柯西乘积,(3)数乘,解,两边积分得,即,综上：,解,由于原级数在收敛区间的两个端点都收敛，,故和函数在两个端点必连续，从而,综上：,特别取x=1,得,一个无理数表示成了无限个有理数之和！,解,解,（将x=0代入原级数或由和函数的连续性均可得。）,原级数在x=-1收敛，由和函数的连续性，得,通过上面几个例子，请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。,逐项求导时，一般收敛域会减少。,如,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分别是,记住下列幂级数的和函数：,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R的求法,3.幂级数的运算:,代数运算和分析运算性质,1.幂级数的概念:,4.幂级数的
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