2412垂直于弦的直径

24.1.2垂直于弦的直径,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？,活动一、创设情景，发现问题,通过这节课的学习，我们就会很容易解决这一问题。,（）圆是轴对称图形吗？,（）如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,（）你是用什么方法解决上述问题的?,答：圆是轴对称图形.,答：圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,答：利用对折.,（）圆是中心对称图形吗？,（）如果是,它的对称中心是什么?,（）你又是用什么方法解决这个问题的?,答：圆也是中心对称图形.,答：它的对称中心就是圆心.,答：用旋转的方法即可解决这个问题.,活动二、诱导尝试，探索新知,思考:,如图1,AB是O的一条弦,作直径CD,使CDAB,垂足为E.,(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?,(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.,是轴对称图形，其对称轴是CD.,动动脑筋！,叠合法,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,求证：,证明：连结OA、OB，则OAOB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是O的对称轴。所以当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别BC、BD重合。因此,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。,符号语言:,文字语言：,图形语言,CD是直径,CDAB,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,火眼金睛,不是,如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？,直线CD过圆心OAM=BM，(AB不是直径),?,议一议,CDAB,条件,结论,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,直线CD过圆心OAM=BM，(AB不是直径),CDAB,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.(),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.(),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.(),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,例11300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,垂径定理的应用,活动三、变式运用，巩固新知,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,AB=37.4CD=7.2,AD=AB=37.4=18.7,OD=OCDC=R-7.2,OA2=AD2+OD2,即：R2=18.72+(R7.2)2,解:如图,用AB表示主桥拱，设所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,根据前面的结论,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高,如图1,在圆O中,若MNAB,MN为直径,则_,_,_.,M,O,A,B,N,C,2.如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8,则OC的长为()A.3B.6C.9D.10,3.如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是()A.AOC=BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是_.5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是_.,AC=BC,A,C,0x6,2或8,M,N,O,A,B,图2,图1,C,耐心填一填:,A,B,C,D,O,6、如图1，在O中,AB是弦,OC=OD。求证：AC=BD,(1),A,B,C,D,O,7、如图2，在O中,CD是弦,OA=OB。求证：AC=BD,(2),课堂小结,1.圆的对称性,2.垂径定理及推论,3.技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。,4.思路：（由）垂径定理构