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.,1,16闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最值定理,二、零点定理与介值定理,.,2,一、有界性与最大值最小值定理,定义:,例如,.,3,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,note:1.若区间是开区间,定理不一定成立;,2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,.,4,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,注在开区间连续的函数可能没,有界.例如,.,5,二、零点定理与介值定理,定义:,几何解释:,.,6,证,由零点定理,.,7,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例1,证,由零点定理,同理可证,奇次实系数多项式至少有一个实根.,于是,.,8,例2,证,由零点定理,证明的关键:构造辅助函数F(x)=f(x)x.,思考题,下述命题是否正确？,答：不正确.,例：函数,.,9,例3,证用反证法.设f不是严格单调的,则存在,.,10,以第二种情形,即,为例.,不妨设,由介值定理,在区间内,有,使,在区间内,有,使,这表明,两个不同的点,对应于同一个函数值,这与f是一,一映射矛盾.这就证明了f是严格,单调的.证毕.,由此推得,两个区间之间连续的,一一满射,作为函数一定是严格单调的.因此,由上节定理,我们得,定理区间上连
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