第三章 晶格振动与晶体的光学性质习题

3.1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个个点引起的位移nj为：,j为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT，具体计算每个原子的平方平均位移。,解：,其中T=2/j为振动周期，所以：,第三章晶格振动与晶体的光学性质习题,格波的平均动能：,一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：,平均动能=平均势能=格波平均能量=,其中：M=rL,其中振幅,得：,所以有：,所以，每个原子的平方平均位移：,其中：M=rL,4,3.2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应,解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3。质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4。,牛顿运动方程,5,N个原胞，有2N个独立的方程,14/34,方程的解,代回到运动方程,6,A、B有非零解,7,两种不同的格波的色散关系,对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N,8,两种色散关系如图所示,9,长波极限情况下,与一维单原子晶格格波的色散关系一致,10,3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于和，并且最近邻的间距1)求出色散关系和分析计算处格波的频率值2)大致画出色散关系图,解：绿色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3,红色标记原子位于2n，2n+2，2n+4,11,第2n个原子和第2n1个原子的运动方程,体系N个原胞，有2N个独立的方程,方程的解,令,12,A、B有非零的解，系数行列式满足,13,两种色散关系,14,色散关系图,两种色散关系,3.5题：已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为：,其中马德龙常数=1.75,n=9，平均离子间距为r0=2.82。,（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率；（2）计算与频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量值61m进行比较。,3.5解：由,可以得到：,利用,计算、简化，代入，可得回复力系数k：,=143N/m,对于NaCl晶体，可以认为是一维双原子晶体，由黄昆教材p96-97分析可以知道，对于离子晶体只有长光学波可以和电磁波发生相互作用。所以有,其中，mNa=23g/mol，MCl=35.5g/mol,代入数计算，可得：,与实测同数量级。因为得到的色散关系存在近似。,计算波长，可得：,代入数据，计算波长，可得：,19,3.6计算一维单原子链的频率分布函数(),设单原子链长度,波矢取值,每个波矢的宽度,状态密度,dq间隔内的状态数,对应q，取值相同，d间隔内的状态数目,20,一维单原子链色散关系,令,两边微分得到,d间隔内的状态数目,21,代入,频率分布函数,22,三维晶格振动的态密度,dq间隔内的状态数,对两边微分得到,23,将dq和代入,得到,时为虚数，有,24,方法2,振动模式密度函数,对于q空间的等频率面，波矢q为常数,已知三维色散关系,25,因为对于光学波，在处振动频率具有最大值,频率分布函数,26,3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T2,证明：,二维晶格振动的态密度,平面中在k到k+dk内独立振动模式,二维晶格振动德拜近似下，一定k有一个纵波和一个横波,体系的色散关系：,27,其中,，则上式为