第一章线性代数1PPT课件

.,1,第一章行列式,1.1二阶与三阶行列式,1.2全排列及其逆序数,1.3n阶行列式的定义,1.4对换,1.5行列式的性质,1.6行列式按行(列)展开,1.7克拉默(Cramer)法则,习题课,.,2,一、二阶行列式的引入,用消元法解二元(一次)线性方程组:,1.1二阶与三阶行列式,(1)(2),(1)a22:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:,a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得,(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12;,.,3,当(a11a22a12a21)0时,方程组的解为:,由方程组(1)的四个系数确定,定义:由4(22)个数排成二行二列(横排称行,竖排称列)的数表,a11a12a21a22,(3),(4),则表达式a11a22a12a21称为由数表(4)所确定的二阶行列式,并记作,(5),类似地,消去x1,得,(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21;,.,4,=a11a22a12a21,即,主对角线,副对角线,二阶行列式的计算对角线法则,=a11a22,a12a21,对于二元线性方程组,D称为线性方程组(1)的系数行列式.,若记,(1),.,5,注意:分母都为原方程组的系数行列式.,则该二元线性方程组的解(3)式,(3),表示为:,.,6,例1:解二元线性方程组,解:,=3(4)=70,.,7,(7)式称为由数表(6)所确定的三阶行列式.,二、三阶行列式,定义:设由9(33)个数排成3行3列的数表,(7),(6),记,.,8,(1)沙路法,三阶行列式的计算,即,(2)对角线法则,.,9,说明2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,注意:红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例2:计算三阶行列式,解:按对角线法则,有,D=12(2),+21(3),+(4)(2)4,(4)2(3),2(2)(2),114,=46+322484,=14,.,10,例3:求解方程,解:方程左端为一个三阶行列式,其值为:,D=3x2+4x+18122x29x,=x25x+6,由D=x25x+6=0解得:,x=2或x=3.,.,11,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.是线性代数中最基本的计算问题之一.,三、小结,.,12,1.3n阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.,说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.,说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数.,1.3,.,13,记作,简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.,即,说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明2.n阶行列式是n!项的代数和;说明3.n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列n个元素的乘积,的符号为(1)t;,.,14,说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.,例1:计算对角行列式,解:分析.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.,所以只能p1=4;,若p14,则,即行列式中非零的项为:,(1)t(4321)a14a23a32a41,即,.,15,例2:计算上三角行列式,解:分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是:a11a22ann.,从最后一行开始讨论非零项.显然,pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即,.,16,显然,=1458,同理可得下三角行列式,对角行列式,.,17,例5:设,证明:D1=D2.,.,18,证:由行列式定义有,.,19,由于p1+p2+pn=1+2+n,所以,故,行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,.,20,思考题,已知多项式,求x3的系数.,思考题解答,含x3的项有仅两项,即,对应于,=x3,+(2x3),故x3的系数为(1).,(1)t(1234)a11a22a33a44,+(1)t(1243)a11a22a34a43,.,21,1.5行列式的性质,一、行列式的性质,行列式DT称为行列式D的转置行列式.,记,证明:记行列式D=det(aij)的转置行列式为:,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.,1.5,.,22,按定义,即bij=aji(i,j=1,2,n),又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立,说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.,性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.,.,23,证明:设行列式,是由行列式,互换i,j(ij)两列得到.,即,当ki,j时,bpk=apk;当k=i,j时,bpi=apj,bpj=api;,.,24,于是,其中t为排列p1pipjpn的逆序数,设s为排列p1pjpipn的逆序数.,显然t与s的奇偶性不同,即(1)t=(1)s,所以,例如,.,25,推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明:互换相同的两行,则有D=D,所以D=0.,性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.,即,推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.,性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零,.,26,证明:,性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如,.,27,则D等于下列两个行列式之和:,性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.,证明:,故结论成立.,.,28,例如,引入记号:用ri表示第i行,ci表示第i列.在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.利用性质2交换行列式的第i,j两行(列),记作rirj(cicj);,.,29,利用性质6把行列式的第j行(列)的各元素乘以同一数k然后加到第i行(列)对应的元素上去,记作ri+rjk(ci+cjk);,利用性质3行列式的第i行(列)乘以数k,记作rik(cik);,二、行列式计算,计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值,.,30,例1:计算5阶行列式,解:,.,31,.,32,.,33,解:将第2,3,n列都加到第一列得:,例2:计算n阶行列式,.,34,第2,3,n行都减去第一行得:,.,35,例3:设,证明:D=D1D2.,证明:对D1作行运算ri+trj,把D1化为下三角形行列式:,.,36,对D2作列运算ci+kcj,把D2化为下三角形行列式:,先对D的前k行作行运算ri+trj,然后对D的后n列作列运算ci+kcj,把D化为下三角形行列式:,故,D=p11pkkq11qnn,=D1D2.,.,37,行列式的6个性质.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.,三、小结,思考题,其中已知abcd=1.,计算行列式,.,38,思考题解答,.,39,.,40,1.6行列式按行(列)展开,一、余子式与代数余子式,引例,考察三阶行列式,在n阶行列式D中,把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后,留下来的n1阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij的余子式,记作Mij.即,1.6,.,41,.,42,例如,记Aij=(1)i+jMij,称Aij为元素aij的代数余子式.,.,43,引理:如果一个阶行列式D的第i行元素除aij外都为零,那么,行列式D等于aij与它的代数余子式Aij的乘积,即D=aijAij.,行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.,=aijAij.,.,44,证:当aij位于第一行第一列时,又由于A11=(1)1+1M11=M11,再证一般情形,此时,由上节例3,即教材中的例10得:D=a11M11.,从而D=a11A11,即结论成立.,.,45,把D的第i行依次与第i1行,第i2行,第1行交换,得,把D的第j列依次与第j1列,第j2列,第1列交换,得,.,46,=(1)i+jaijM11,显然,M11恰好是aij在D中的余子式Mij,即M11=Mij,因此,D=(1)i+jaijMij=aijAij,故引理结论成立.,.,47,定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni(i=1,2,n).,证:,二、行列式按行(列)展开法则,.,48,D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n).,由引理得:,引理的结论常用如下表达式:,(i=1,2,n),解:按第一行展开,得,例1:计算行列式,如果按第二行展开,得,.,49,例2:计算行列式,解:D,.,50,例3:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证:用数学归纳法,所以,当n=2时,(1)式成立.,假设对n-1阶范德蒙德行列式,(1)式成立.,对n阶范德蒙德行列式,作如下变换,rix1ri-1(i=n,n1,2,1).得,.,51,按第一列展开,并把每列的公因子(xix1)提出,就,有:,n1阶范德蒙德行列式,则根据归纳假设得证:,.,52,例4:计算行列式,解:,.,53,推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,ij;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,ij.,证:把行列式D=det(aij)按第j行展开,得,把ajk换成aik(k=1,2,n),当ij时,可得,.,54,第j行,第i行,同理a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,ij,所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,ij,关于代数余子式的重要性质,其中,.,55,1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,2.,.,56,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.,设n阶行列式,思考题解答,解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,A11+A12+A1n,.,57,1.7克拉默(Cramer)法则,设线性方程组,若常数项b1,b2,bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组;,定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即,(1),1.7,.,58,其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为,证明:用系数行列式D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得,.,59,在把n个方程依次相加,得,由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj的系数等于D,而xi(ij)的系数均等于0,等式右端为Dj.,于是,因此,当D0时,方程组(2)有唯一解:,Dxj=Dj(j=1,2,n),(2),由于方程组(2)与方程组(1)等价,故,也是方程组(1)的唯一解.,.,60,定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.,定理3:如果齐次线性方程组(3),的系数行列式D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.,(3),定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式D必为零.,在后面我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式D必为零.,.,61,例1:用克拉默法则解方程组,解:,.,62,所以,.,63,解:,例2:用克拉默法则解方程组,.,64,所以,.,65,例3:问取何值时,齐次方程组,有非零解?,由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:,则=0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.,.,66,用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.,2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.,小结,.,67,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?,思考题解答,不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.,.,68,第一章习题课,习题课,.,69,5.n阶行列式的定义,或,.,70,6.n阶行列式的性质,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和.性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.,.,71,7.行列式按行(列)展开,在n阶行列式D中,把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后,留下来的n1阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij的余子式,记作Mij.即记Aij=(1)i+jMij,称Aij为元素aij的代数余子式.,(1),8.克拉默法则,.,72,定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为,其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即,定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组没有非零解.定理4:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式D必为零.在后面我们将证明:齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零.,.,73,典型例题,例1:计算行列式,解:,.,74,例2:计算,解:Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从0到n1,而是从1递升至n.若提出各行的公因子,则方幂的次数便是从0升到n1,于是得:,.,75,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知,评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.,.,76,例3:计算,解:将第2,3,n+1列都加到第1列,得,.,77,提取第一列的公因子,得,cj+1+(aj)c1,j=2,3,n+1.得,.,78,评注:本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.,例4:计算,解:将行列式的2,3,4行分别加到第1行,并提出公因子(a+b+c+d),得:,.,79,在将第2,3,4列分别减去第1列,得:,把上面行列式的第2行加到第1行,再提取第1行的公因式(a-b-c+d),得:,第2列减去第1列,得,.,80,所以,评注:本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点,将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素的情形,然后按此行(列)展开.每展开一次,行列式的阶数降低1阶.如此继续进行,直到行列式能直接计算出来(一般展开成二阶行列式)为止.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.,.,81,例5:计算,解:依第n列把Dn拆成两个行列式之和,.,82,将上式右端第一个行列式的第n列的(1)倍分别加到第1,2,n1列上去;将上式右端第二个行列式按第n列展开.得,从而得递推公式:,于是,如此继续下去,可得,Dn=x1x2xn-1a+xnDn-1.,故,Dn-1=x1x2xn-2a+xn-1Dn-2.,Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+xn-1xnDn-2.,Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+x1x2ax4xn,+x3xn-1xnD2.,.,83,而,所以,Dn=x1x2xn-1a+x1x2xn-2axn+x1x2ax4xn,+x1ax3xn+ax2x3xn+x1x2x3xn.,=a(x1x2xn-1+x1x2xn-2xn+x1x3xn+x2x3xn)+x1x2x3xn.,当x1x2x3xn0时,可改写为:,评注:本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点,导出所给n阶行列式Dn的递推公式,从而求出Dn.递推公式方法是求有规律性n阶行列式Dn的常用方法.,.,84,例6:证明,证:对阶数n用数学归纳法.,D1=cos,所以当n=1,2时,结论成立.,显然,假设阶数小于n时,结论成立,以下证明阶数等于n时,结论成立.,.,85,按Dn的最后一行展开,得,Dn=2cosDn-1Dn-2.,由归纳假设,Dn-1=cos(n1),Dn-2=cos(n2).,所以,Dn=2coscos(n1)cos(n2),=cosn