高考题中的转化与化归

,的,转化与化归,高考题中,在一份练习卷中，有这么一道题让学生在解答时难以找到思路：在ABC中，所对的边分别是且,P为ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值.,本题是一道涉及三角、解几和代数等综合知识，但可转化为互相联系的三个简单问题：判断三角形的形状与大小；求三角形内切圆的方程；求距离之和的最值.然后逐一解决，这个思维过程中用到了“转化与化归”的思想.,其具体的解答过程如下：（见材料）,翻阅近几年的高考数学试卷，发现各套试卷虽然都不刻意的追求数学思想某一个知识点的考查，但运用数学思想解题却贯穿整套试题的始终.其中“转化与化归”就是处理问题的一种很重要的思想方法，下面将重点从如下三个方面对这一方法进行阐述：（1）什么是转化与化归思想（2）在高考试题和模拟试卷中常见的几种转化（3）应用转化与化归思想解题时应注意的问题,转化与化归的思想方法，就是通过观察、联想、等价转化这三个环节，将抽象的概念直观化，隐蔽的条件明显化，复杂的问题简单化，从而达到解决问题的目的在几何中“形”的转化，是把一个图形转化为另一个图形，使原命题转化为另一个等价命题；在代数中“式”的转化，是将一种“式”等价转化为另一种“式”；“形”和“式”在一定条件下也可以相互转化，这就是“转化与化归”的思想方法由于除简单的数学问题外，其它的数学问题几乎都经过转化才能得到解决，所以，从这个意义上讲，转化与化归的思想方法是其它数学思想方法的总结与提高,在高考数学中有不少用“转化与化归”这一思想方法来解决问题的，其中有如下几种基本类型在高考试题中较多见.,一.正向向逆向转化，即正难则反.一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从正面入手思维受阻，不妨从它的反面出发，逆向思维，往往会另有捷径。,例1.（04年、北京、春季）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品，不同的取法种数是（）A.B.C.D.,评析：本题可以从正面来解答，但不如间接方法简捷明了，主要考查了正难则反的基本方法.,其具体分析过程（见材料）,二.一般与特殊的转化，即特殊化原则.从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题.,例2.（04年、高考、湖南）数列中，则：,A.B.C.D.,评析：利用结构进行从特殊到一般的转化，既可以缩短解题的长度，也可以提高运算的准确性，同时考查了思维的灵活性和代数的变形能力,其具体的分析过程（见材料）,三.数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形直观提供思路，直接地反映函数和方程中变量的关系.,评析：此题是常规的自然对数，但其思考的方法却不平常，解法二利用的结构特点，联想到斜率公式，故只要画出函数的图象，把数与形得以转化便能使问题得以解决。,例3.（05年高考、全国卷）若,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac,四.常量与变量的转化，即在处理多元问题时，注意选取其中的常量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.,例4.对于的一切实数，使不等式都成立的实数的取值范围是,评析：把一个关于的不等式转化为函数，在指定的区间上的恒成立的问题是解答本题的关键，正是这一转化，把一个不等式问题变成了一个易于判断单调性的函数的最值问题，从而顺利应用了数学基础知识.,五.数学各分支之间的转化.如利用向量的方法解立体几何的问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.,例5.（2004年、湖南）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为.,评析：本题主要考查了椭圆及等差数列的有关知识，是高中教材第二册第99页例3的深化，是一道在知识网络交汇处的好题。,六：相等关系与不等关系之间的转化，如利用均值不等式，判别式等.,例6.（2004年，上海）某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x.y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x，y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?,其具体的分析过程（见材料）,七：实际问题与数学模型之间的转化，要注意依据问题本身所提供的信息，挖掘实际问题所表示的数量关系，利用动态的思维，去寻找有利于问题解决的转化与化归的途径与方法.例7：（2004年，湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）,评析：本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，考查了实际问题和数学模型之间的转化能力及分类讨论的数学思想，数学中的转换是美的发现，化归与转化从某种意义上说就是化简，化归思想方法在培养数学思维品质方面有十分重要的作用，因此要切实加强化归思想方法的形成和渗透.,其具体的分析过程（见材料）,为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题，但应用化归思想方法解题时应注意以下几点：,一：注意紧盯目标，保证化归的有效性、规范性.化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。,例8.已知，且，当取最大值时，求值.,评析：解题犹如打仗，需要冲破道道难关，直奔解题目标，而盯住目标，求什么就解什么，有助于最终形成解题思维链。,二.注意转化的等价性，保证逻辑上的正确。化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。,例9.（2004年北京、春季）解不等式,其具体的分析过程（见材料）,三、注意转化的多样性，设计合理的转化方案。在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。,例10.某商店进货每件50元，据市场调查，销售价格（每件x元）在时，每天售出的件数.若想每天获得的利润最多，则销售的价格每件应定为多少元？,评析：本题体现了转化的多样性。最省、最多、最低、最大等最值问题，在现实生活中有着广泛的应用，在近年高考中，几乎年年都涉及到。此类问题，一般要构造函数，用函数值域、单调性、均值不等式、二次方程的判别式等数学方法求出最值。,其具体的分析过程（见材料）,以上例题，从一个侧面体现