中考数学真题分类汇编第二期专题27锐角三角函数与特殊角试题含解析.doc

锐角三角函数与特殊角一.选择题1.xx山东烟台市3分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a，的显示结果记为b则a，b的大小关系为（）AabBabCa=bD不能比较【分析】由计算器的使用得出A.b的值即可【解答】解：由计算器知a=（sin30）4=16.b=12，ab，故选：B【点评】本题主要考查计算器基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用. 2（xx金华、丽水3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC= ， ADC= ， 则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）A.B.C.D.【解析】【解答】解：设AC=x,在RtABC中，AB= 在RtACD中，AD= ，则 ，故答案为：B。【分析】求AB与AD的比，就不必就求AB和AD的具体的长度，不妨设AB=x，用含x的代数式分别表示出AB，AD的长，再求比。3. （xx黑龙江大庆3分）2cos60=（）A1BCD【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2=1二.填空题1. （xx湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45方向上在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile【分析】作ADBC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可【解答】解：作ADBC于D，设AC=x海里，在RtACD中，AD=ACsinACD=x，则CD=x，在RtABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里故答案为：18【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键2.（xx江苏宿迁3分）如图，将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，OAB60，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60，再绕点C按顺时针方向旋转90，）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.【答案】+【分析】在RtAOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.【详解】在RtAOB中，A（1，0），OA=1，又OAB60，cos60=，AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，故答案为：. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.3. （xx广西北海3分）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是 45.已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根号）。【答案】40【考点】三角函数【解析】俯角是45! ， BDA = 45!， AB = AD=120m， 又 CAD = 30!, 在 RtADC 中 tanCDA=tan30= CD =3 ,AD3 CD = 40 3 （m）【点评】学会应用三角函数解决实际问题。三.解答题1. （xx湖北襄阳6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）【分析】作PCAB于C，构造出RtPAC与RtPBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解【解答】解：过P点作PCAB于C，由题意可知：PAC=60，PBC=30，在RtPAC中，AC=PC，在RtPBC中，BC=PC，AB=AC+BC=，PC=100，答：建筑物P到赛道AB的距离为100米【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答2.（xx江苏宿迁8分）计算： 【答案】5【详解】原式=4-1+（2-）+2，=4-1+2-+，=5.【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值是解题的关键.3.（xx江苏淮安10分）（1）计算：2sin45+（1）0+|2|；（2）解不等式组：【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法和加减运算可得；（2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可【解答】解：（1）原式=2+13+2=+1=1；（2）解不等式3x5x+1，得：x3，解不等式2x1，得：x1，则不等式组的解集为1x3【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则4.（xx江苏淮安12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A.B两点动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒（1）当t=秒时，点Q的坐标是（4，0）；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论【解答】解：（1）令y=0，x+4=0，x=6，A（6，0），当t=秒时，AP=3=1，OP=OAAP=5，P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，AP=OQ=3，t=33=1，当0t1时，如图1，令x=0，y=4，B（0，4），OB=4，A（6，0），OA=6，在RtAOB中，tanOAB=，由运动知，AP=3t，P（63t，0），Q（66t，0），PQ=AP=3t，四边形PQMN是正方形，MNOA，PN=PQ=3t，在RtAPD中，tanOAB=，PD=2t，DN=t，MNOADCN=OAB，tanDCN=，CN=t，S=S正方形PQMNSCDN=（3t）2tt=t2；当1t时，如图2，同的方法得，DN=t，CN=t，S=S矩形OENPSCDN=3t（63t）tt=t2+18t；当t2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（63t）=3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（63t，0），Q（66t，0），M（66t，3t），T是正方形PQMN的对角线交点，T（6t，t）点T是直线y=x+2上的一段线段，（3x6），作出点O关于直线y=x+2的对称点O交此直线于G，过点O作OFx轴，则OF就是OT+PT的最小值，由对称知，OO=2OG，易知，OH=2，OA=6，AH=2，SAOH=OHOA=AHOG，OG=，OO=在RtAOH中，sinOHA=，HOG+AOG=90，HOG+OHA=90，AOG=OHA，在RtOFO中，OF=OOsinOOF=，即：OT+PT的最小值为【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点OABDC5. （xx金华、丽水8分） E如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知CAD=B.（1）求证：AD是O的切线.（2）若BC=8，tanB=,求O的半径.【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证得；此题即证ADO=90；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，求出相关结论，由BC=8，tanB= 不难得出AC，AB的长度；而tan1=tanB= ，同样可求出CD，AD的长度；设半径为r，在RtADO中，由勾股定理构造方程解出半径r即可。6.（xx广东9分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的O经过点C，连接AC，OD交于点E（1）证明：ODBC；（2）若tanABC=2，证明：DA与O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长【分析】（1）连接OC，证OADOCD得ADO=CDO，由AD=CD知DEAC，再由AB为直径知BCAC，从而得ODBC；（2）根据tanABC=2可设BC=A.则AC=2A.AD=AB=，证OE为中位线知OE=A.AE=CE=AC=a，进一步求得DE=2a，再AOD中利用勾股定理逆定理证OAD=90即可得；（3）先证AFDBAD得DFBD=AD2，再证AEDOAD得ODDE=AD2，由得DFBD=ODDE，即=，结合EDF=BDO知EDFBDO，据此可得=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得【解答】解：（1）连接OC，在OAD和OCD中，OADOCD（SSS），ADO=CDO，又AD=CD，DEAC，AB为O的直径，ACB=90，ACB=90，即BCAC，ODBC；（2）tanABC=2，设BC=A.则AC=2a，AD=AB=，OEBC，且AO=BO，OE=BC=a，AE=CE=AC=a，在AED中，DE=2a，在AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，AO2+AD2=OD2，OAD=90，则DA与O相切；（3）连接AF，AB是O的直径，AFD=BAD=90，ADF=BDA，AFDBAD，=，即DFBD=AD2，又AED=OAD=90，ADE=ODA，AEDOAD，=，即ODDE=AD2，由可得DFBD=ODDE，即=，又EDF=BDO，EDFBDO，BC=1，AB=AD=、OD=、ED=2.BD=、OB=，=，即=，解得：EF=【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点7.（xx广西贵港8分）如图，已知O是ABC的外接圆，且AB=BC=CD，ABCD，连接BD（1）求证：BD是O的切线；（2）若AB=10，cosBAC=，求BD的长及O的半径【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得A=D，由等腰三角形的性质得：CBD=D=A=OCE，可得EBD=90，所以BD是O的切线；（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交O于E，连接EC.OC，则BCE=90，OCE+OCB=90，ABCD，AB=CD，四边形ABDC是平行四边形，A=D，OE=OC，E=OCE，BC=CD，CBD=D，A=E，CBD=D=A=OCE，OB=OC，OBC=OCB，OBC+CBD=90，即EBD=90，BD是O的切线；（2）如图2，cosBAC=cosE=，设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，AB=BC=10=4x，x=，EB=5x=，O的半径为，过C作CGBD于G，BC=CD=10，BG=DG，RtCGD中，cosD=cosBAC=，DG=6，BD=12【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据三角函数的比设未知数，列方程解决问题8.（xx贵州黔西南州12分）（1）计算：|2|2cos60+（）1（xx）0【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；【解答】解：（1）|2|2cos60+（）1（xx