第九章 二重积分习题课

.,习题课,第九章二重积分,.,一基本要求1.正确理解二重积分2.了解二重积分的性质。3.熟练掌握二重积分的计算方法。(1)直角坐标系下(2)极坐标系下(4)问题与注意5会用二重积分计算曲面的面积、立体的体积；以及平面薄片的质量；二典型例题1.积分换序2.选择坐标系,确定积分限三课堂练习1.填空2.选择3.计算,第六章重积分,.,.,.,.,几何意义：,当f(x,y)0时，,(1),(1)式表示：,一基本要求,特殊情况：,若在域D上,f(x,y)1,=域D的面积.,存在定理：,定义：,x0y平面上的域D为底的曲顶柱体的体积。,以z=f(x,y)为曲顶,.,1.二重积分的定义,.,2.二重积分的性质,比较定理:,设f(x,y),g(x,y)在有界闭域D上可积:,估值定理:,中值定理:,若在域D上，f(x,y)g(x,y),s是,D的面积，,则点(,)D,除了一般性质，,特别要了解比较定理、,估值定理、,中值定理这三个性质。,设M,m为f(x,y)在D上的最大值和最小值，,设f(x,y)在有界闭域D上连续，,.,3.二重积分的计算,问题：,计算方法：,化二重积分为二次积分.,(1)根据什么选择坐标系？,根据被积函数和积分区域的特点。,(2)根据什么选择积分次序？,根据积分区域D的边界的特点：,原则：分块尽可能少，并且积分上、下限简单；容易根据第一次积分结果计算第二次积分。,注意：,(1)无论在什么坐标系下，,转化成二次积分计算时，,积分的下限要小于积分的上限。,(2)灵活运用二重积分的性质简化计算过程。,(3)善于利用被积函数在对称积分区域上的奇偶性简化计算。具体如下：,.,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性或重心公式简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,4.利用重积分换元公式,机动目录上页下页返回结束,.,典型例题1.积分换序,例1,计算,.,此题必须换序。因为原函数不能用初等函数表示。,换序：,.,2.选择合适的坐标系积分,例2,计算,极坐标系,解：,.,(1)若积分区域D关于x轴,而f(x,y)是y的奇(偶)函数，,则,0,当f(x,y)=f(x,y),当f(x,y)=f(x,y),其中D1是D在上半平面的部分.,.,(2)若积分区域D关于y轴对称，,而f(x,y)是x的奇(偶)函数，,则,0,当f(x,y)=f(x,y),当f(x,y)=f(x,y),其中D2是D在右半平面的部分.,.,.,(3)若D分别关于x轴、y轴对称，,而f(x,y)关于x,y同时为偶函数，,则,当f(x,y)=f(x,y)且f(x,y)=f(x,y),其中D3是D在第一象限的部分.,对称，,*证明,举例如下,.,例3,例4,由对称性，,设D1是D在第一象限的部分.,.,D,因积分区域D关于x轴对称；,被积函数,是y的奇函数,.,.,x=1,.,例5.计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,机动目录上页下页返回结束,.,(2)积分域如图:,将D分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动目录上页下页返回结束,.,例6.计算二重积分,其中D是由曲,所围成的平面域.,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,机动目录上页下页返回结束,.,例7.计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D为圆域,把与D分成,作辅助线,机动目录上页下页返回结束,.,(2)提示:,两部分,说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D分成,机动目录上页下页返回结束,.,(1)计算,其中D分别为:,o,y,a,o,x,y,a,a,D1,D2,o,x,y,2a,D,a,a,2a,D,(a,a),（积分域D关于y轴对称，xy2是x的奇函数）,I=,（D关于x轴对称，xy2是y的偶函数）,.,（选什么系？）,(选什么系?),.,.,.,三课堂练习1.填空,0,I=,I=,I=,（选极坐标系）,(先对哪个变量积分?),(直角系),(先对x),.,.,8,.,.,1(2),.,2.选择,(1),则下列关系式成立的是：,(A)I1I2,(B)I1I2,(C)I1I2,答:（）,(2),则I满足（）.,(A),(B),(C),(D),(3),(A),(B),(C),(D),1,D,A,B,.,3.计算,(1),(2),(3),.,谢谢使用,返回首页,习题课,.,.,证明：,(1)若积分区域D关于x轴对称，,而f(x,y)是y的奇(偶)函数，,则,0,当f(x,y)=f(x,y),当f(x,y)=f(x,y),其中D1是D在上半平面的部分.,设D=D1+D2,其中D2是D在下半平面的部分.,D2,D1,a,b,x0,(x0),(x0),因为域D关于x轴对称，,取定x=x0时，,相应的D的,边界上的点必互为对称点。,纵坐标满足：,原式右边,定积分性质,证毕.,.,设D是矩形域：x,1y1.则,8,（D关于x轴对称，siny是y的奇函数.）,.,解：,1(2),证毕.,.,则在极坐标下的二次积分为,.,图形,2,y=x,D,1,1,x=2,.,.,.,曲边扇形,解：,即得答案.,(3),证毕.,.,交换二次积分的积分顺序：,.,解：,1,2,1,x+y=1,D,答案,.,.,(4),证毕.,.,.,解：,.,.,(5),洛必达法则,证毕.,.,用二重积分估值定理,区域D图形:,区域D面积:s=2,解答(2),.,.,解答(3),.,.,解答:,3.计算(1),而且必为一个常数。,只须求A.,将上式两端在D上作二重积分:,A=,因为f(x,y)连续，,.,.,.,解答:,3(2