简单的数学建模PPT参考幻灯片

数学建模,1,数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（MathematicalModeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1数学模型与数学建模,2,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。,1.2数学建模的一般步骤,3,1.3数学模型的分类,4,例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？,1.4一些简单实例,似乎条件不够哦。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？,5,6,2.初等模型举例,7,常见类型,定性模型经验公式（拟合、插值）量纲分析比例模型,8,2.1崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,9,方法一,我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。,10,令k=K/m，解得,代入初始条件v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,11,若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,12,13,2.2录像带还能录多长时间,录像机上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒。我们从0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录下一个60分钟的节目？,14,又因和得,积分得到,即,从而有,15,此式中的三个参数W、v和r均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系，但效果不佳，故令则可将上式简化为：,故,16,t=an2+bn,上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：,从后两式中消去t1，解得a=0.0000291,b=0.04646,故t=0.0000291n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为185.33分，故尚可录像时间为59.64分，已不能再录下一个60分钟的节目了。,17,2.3最短路径与最速方案问题,18,例5（最短路径问题）,设有一个半径为r的圆形湖，圆心为O。A、B位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限制下，问怎样的路径最近。,19,以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。,下面证明猜想,20,猜测证明如下：,21,还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。,到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。1973年，J.W.Craggs证明了以上结果：,22,例6一辆汽车停于A处并垂直于AB方向，此汽车可转的最小圆半径为R，求不倒车而由A到B的最短路径。,23,例7驾驶一辆停于A处与AB成1角度的汽车到B处去，已知B处要求的停车方向必须与AB成2角，试找出最短路径（除可转的最小圆半径为R外，不受其他限止）。,24,最速方案问题,例8将一辆急待修理的汽车由静止开始沿一直线方向推至相隔S米的修车处，设阻力不计，推车人能使车得到的推力f满足:-BfA,f0为推力，f0为拉力。问怎样推车可使车最快停于修车处。,25,此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速方案。我们作如下猜测：,26,3.微分方程建模,27,常用技巧,工程师原则房室系统建模竞争项的统计筹算律集中参数法与分布参数法灵敏度分析稳定性分析,28,3.1为什么要用三级火箭来发射人造卫星,构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？,1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?,（1）卫星能在轨道上运动的最低速度,R为地球半径，约为6400公里,故引力:,29,（2）火箭推进力及速度的分析,假设：火箭重力及空气阻力均不计,30,（2）火箭推进力及速度的分析,最终质量为mP+mS，初始速度为0，所以末速度：,根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星,火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？,31,2、理想火箭模型,得到：,解得：,理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，,所以最终速度为：,只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。,考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭,32,3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统,记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。,先作如下假设：,考虑二级火箭：,33,又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可得：,要使2=10.5公里/秒，则应使:,即k11.2，而:,类似地，可以推算出三级火箭：,在同样假设下:,要使3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。,是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,34,考虑N级火箭：,记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表3-2,由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。,当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。,35,4、火箭结构的优化设计,3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。,应用（3.11）可求得末速度：,记,则,又,问题化为，在n一定的条件下，求使k1k2kn最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,可以解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！,36,3.2药物在体内的分布,何为房室系统？,在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。,房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。,37,药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：,药物分布的单房室模型,单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：,药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。,38,情况1快速静脉注射,与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：,39,情况2恒速静脉点滴,易见：,对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：,类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者体内的初始药物浓度不为零。,40,情况3口服药或肌注,口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：,因而：,所以：,解得：,从而药物浓度：,41,图3-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同。,图3-9,我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。,42,43,上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。,图3-10表示的是一种常见的两房室模型，其间的k12表示由室I渗透到室II的变化率前的系数，而k21则表示由室II返回室I的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。,当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统，即N房室系统,44,4.离散优化模型,45,常用技巧,计算复杂性分析算法设计精确算法近似算法算法计算量估计、算法优劣比较,46,比较算法的好坏，从不同的角度出发，有各种不同的标准。在这里，我们仅就算法的计算速度作一个十分粗略的比较。,例1（整理问题）给定n个实数a1,a2,an，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的顺序：b1,b2,bn，b1b2bn。,（算法1）取出a1,a2,an中的最小者，令其为b1。从a1,a2,an中去除b1，在余下的n1个数中选出最小者，令其为b2，直至得到b1,b2,bn。容易看出，为了排出b1,b2,bn，算法工作了次比较。,（算法2）步0b1a1步1设已有b1,bk(1kn)，将按两分法比较的方式把ak+1排入其中：若b1biak+1bi+1bk，令（b1,b2,bk,bk+1）（b1,bi,ak+1,bi+1,bk）。若k+1b4，可再和b6比（若a80可推出0的置换矩阵P,步2确定,步3取，用代替,步4若=0，停；否则，返回步1。,例2.为方便起见，我们来分解一个元素均为非负整数的3阶双随机矩阵，（由Birkhoff定理，r5）,78,解：取，=min1,3,3=1,因min5,5,3=3，又有,，取,79,于是又有,易得分解结果为：,80,尚需解决的问题是如何求P，使得Pij0必有。读者不难发现，此问题可以通过求解一个两分图上的最大流（或最大匹配）来实现，计算量为O(n4)，是多项式时间可解的。具体方法为：作一两分图，若，则作边（i,j），令边容量为1，这样，可作出P的充要条件是该最大流问题的最大流量为n。对例9.33，n=3。由于所有，先取,，P1为,相应的两分图为：,于是又可求得,81,，相应的两分图为：,又可得，如此下去，直到作不出P为至，由于的特殊性质及Birkhoff定理，上述分解必能在不超过r=(n1)2+1步内终止。,上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置(n1)2+1种不同的开关模式（即Pk），当n稍大时，(n1)2+1仍显得太大而使得使用时不便。例如，当n=41时，(n1)2+1=|60|。为实用方便，人们研究了限止开关模式个数的相应问题。,82,若要求rn，即要求通讯卫星上至多设置n种开关模式，则问题化为令rn，求不超过n个置换矩阵Pk及k，使之满足：,minS.t,为了使任意一对发射法与接收站之间的传送均为可能实现的，自然应要求Pk满足,（5.1）,（5.2）,（右面的矩阵有n2个值为1的分量，每一Pk恰有n个1分量）故r=n。,容易看出，（5.1）隐含着T的每一元素只能被唯一的P复盖，即T的元素在分解中是不可分割的，这当然是一个好性质，使实际操作时较为方便，但可惜的是对一般的双随机矩阵，分解很可能无解。,83,例3若取,（注意：T已是双随机矩阵，行和列和均为10）,则min,S.t,的解为1=3，2=4，3=5。,84,（大于10）而,但等号经常并不成立。1985年，FRendel证明，在给定满足（5.2）的置换矩阵P1,Pn后，求解问题（5.1）是NP难的，从而不可能存在多项式时间算法，除非P=NP。,现要求r2n,一种自然而方便的开关设置为引入两组各有n个开关模式的置换矩阵P1,Pn，Q1,Qn，满足下面的（5.3)式：,例如，当n=3时，可令：,85,（注：这种设置方法保持了其内在的对称性，不失为一种明智的做法。）,现在，我们来分解例9.33中的双随机矩阵，令=，得方程组,86,求出各对角线与反对角线上的三个元素之和，并作一些简单的消去运算；将矩阵的所有元素相加，可得下面的方程组：,注意到（5.3），易证空间的维数为5，故之一可任取，（稍加注意即可保持非负性），例如，令3=0，求得，故有,87,读者不难验证，上述方法可推广到n是奇数的一般情况。事实，由各对角线元素之和可导出n1个方程，由各反对角线元素之和又可导出n1个方程，加上矩阵所有元素之和导出的等式，共计可导出2n1个方程，并易知它们是独立的。另一方面空间的维数恰为2n1，故之一可任取，而通过方程组解得所有的，（只须注意保持其非负性即可）,但当n为偶数时，情况就不大相同了。让我们先来观察一下n=4的情况。当n=4时，,88,易见，具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩阵，即使其元素是非负整数，也无法用Pk、Qk来分解。,当具有上述结构时，能否用Pk和Qk来分解呢？易见，由各对角线元素之和可导出：,89,另外，