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第十四章计数原理与二项式定理,第1讲,排列与组合,1分类加法原理与分步乘法原理做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N_,种不同的方法,m1m2mn,做一件事,完成它要分成n个步骤,在第一个步骤中有m1种不同的方法,在第二个步骤中有m2种不同的方法,第n个步骤中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N_,种不同的方法,m1m2mn,2排列与排列数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从m个不同元素中取出个元素的排列数,用表,示,且,_.,3组合与组合数,n(n1)(n2)(nm1),(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示,且_.,1已知集合M1,2,3,N4,5,6,7,从两个集合M、N中各选一个数分别作为点的横坐标和纵坐标,则在第一、,二象限内不同的点个数为(,),B,A4,B6,C8,D12,2(2010湖北)现有4名同学去听同时进行的5个课外知识讲,座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是(,),A54,B65,A,565432C.2,D65432,3(2011年广东惠州调研)从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,不同的选,法共有(,),D,A40种,B120种,C35种,D34种,4从5名男同学,3名女同学中选3名参加公益活动,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有_种(用,数字作答),45,5安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日不,同的安排方法共有_种,2400,解析:共有2400种不同的安排方法,考点1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,例1:(1)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位,数共有多少个?,(2)已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)表示平面上,的点(a,bM),P可表示平面上多少个第二象限的点?解析:(1)方法一:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类计数原理知,符合题意的两位数的个数共有:876,5432136(个),方法二:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类计数原理共有:1234567836(个),(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b0,所以有2种确定方法由分步计数原理,得到第二象限点的个数是326.,处理具体问题时,首先要弄清楚是“分类”还是“分步”,分类时各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事,分步时各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,简单地说是“分类互斥、分步互依”,因此在解题时,要搞清题目的条件与结论,还要注意分类时,要不重不漏,分步时合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰对于复杂的题目,往往既要分类又要分步,【互动探究】1如图1411,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块,种不同的花,则不同的种法总数为(,),图1411,A96,B84,C60,D48,解析:此题要先分类后分步,分以下两种情况:,若A,C种相同的花,先确定A,C的种法,再依次确定B,D的种法,由分步乘法原理,则有43336种法;若A,C种不同的花,先依次确定A,C的种法,再依次确定B,D的种法,由分步乘法原理,则有432248种法,由分类加法原理,则共有364884.故选B.,答案:B,考点2排列问题,例1:7位同学站成一排照相,(1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种?(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种?,解题思路:(1)中我们先考虑甲的位置,(2)(3)中先考虑甲、乙的位置,再考虑其他人(4)中将甲、乙看成一个整体,与其他人的排列,(5)中应先排其他人再排甲、乙(6)是一个定序问题,根据对称性求解,排列组合中的一些基本方法:特殊元素优先考虑;对于相邻问题,采用“捆绑”法;对于不相邻问题采用“插空”法对于定序问题,可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列,【互动探究】2(2010年四川)由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与,A,5相邻的五位数的个数是(A36C28,)B32D24,考点3组合问题,例2:从4名男同学和3名女同学中,选出3人参加学校的某,项调查,求在下列情况下,各有多少种不同的选法?,(1)无任何限制;,(2)甲、乙必须当选;(3)甲、乙都不当选;,(4)甲、乙只有一人当选;(5)甲、乙至少有一人当选;(6)甲、乙至多有一人当选,解题思路:此题不讲究顺序,故采用组合数,对于有条件的组合问题,可能遇到含有某个(些)元素与不含某个(些)元素问题;也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误,【互动探究】3某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人,),B,来自3家不同企业的可能情况的种数为(B16A14C20D48,4某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同安排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果:,的序号是_.,解析:(直接法)分为开放2间,3间,4间,5间,6间五种情况,又由组合数的性质则正确;(间接法)每间电脑室有开放和不开放两种状态,根据分步乘法原理,则共有26种情况,其中有开放1间电脑室的是不符合的,故安排方案为267种,则正确,关于排列、组合问题的求解,应掌握以下基本方法与技巧:特殊元素(特殊位置)优先考虑;排列
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