新教材高中数学第三章函数3.1.3.2函数奇偶性的应用课件新人教B必修1

第2课时函数奇偶性的应用,类型一利用函数的奇偶性求解析式【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数，x0时，f(x)=x2-2x-3，求f(x)的解析式.世纪金榜导学号,【思维引】利用奇偶性分别求出当x=0，x0时的解析式.,【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，若x0，则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3，故f(x)=-x2-2x+3，所以函数f(x)=,【内化悟】对于奇函数，怎样处理在x=0处的解析式？提示：考查在x=0处是否有意义，如果有则f(0)=0.,【类题通】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).,【习练破】f(x)为R上的奇函数，且当x0时f(x)=x(1+x3)，则当x0时，f(x)=x2-x+1.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)在R上的解析式.,【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(-0)=-f(0)，即f(0)=0，故f(0)=0；,(2)当x0，f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1，又由f(0)=0，则f(x)=,类型二函数奇偶性与单调性关系的应用【典例】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x20，+)(x1x2)，有0，则(),A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2),2.已知偶函数f(x)在区间0，+)上单调递增，则满足条件f(2x+1)f(5)的x的取值范围是()世纪金榜导学号A.(-3，2)B.(-2，3)C.(-2，2)D.-3，2,【思维引】1.先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较.2.利用奇偶性得出函数在R上的单调性，结合图像确定2x+1的范围，从而求x的范围.,【解析】1.选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x20，+)(x1x2)，有0，则函数f(x)在0，+)上为减函数，则f(3)f(2)f(1)又由f(-2)=f(2)，则f(3)f(-2)f(1).,2.选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间0，+)上单调递增，则在(-，0)上是减函数，f(2x+1)f(5)|2x+1|5，即-52x+15，解可得：-3x2，即x的取值范围为(-3，2).,【内化悟】若偶函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么在区间-b，-a上的单调性是怎样的？如果函数f(x)是奇函数呢？,提示：偶函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么在区间-b，-a上的单调性是减函数.若函数f(x)是奇函数，则在区间-b，-a上也是增函数.,【类题通】奇偶性与单调性的关系1.关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.,2.应用：(1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小关系；(2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系.,【习练破】1.已知函数f(x)是定义在区间-2，2上的偶函数，当x0，2时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)f(m)成立，则实数m的取值范围是()A.B.1，2C.(-，0)D.(-，1),【解析】选A.根据题意，函数f(x)是定义在区间-2，2上的偶函数，当x0，2时，f(x)是减函数则f(1-m)f(m)，解可得-1m0所以函数y=x-在(0，+)上是增函数.列出部分函数值如下表所示，描点作图.,再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，,【素养探】在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的图像.将本例中的函数变为y=，试探究函数的性质，并作出函数的图像.(参考公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),【解析】函数的定义域为D=x|x0，从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=，则对任意xD，都有-xD，而且f(-x)=-f(x)，,所以函数y=是奇函数，函数的两部分图像关于原点对称.因为x1，x2(0，+)，且x1x2时，f(x2)-f(x1)=,所以因为x1，x2(0，+)，所以0，所以函数y=在(0，+)上是减函数.,列出部分函数值如下表所示，描点作图.,再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，,角度2研究函数的对称性【典例】求证二次函数f(x)=-x2+2x+3关于x=1对称.世纪金榜导学号【思维引】分别计算f(1+h)，f(1-h),【证明】任取hR，因为f(1+h)=-(1+h)2+2(1+h)+3=-h2+4，f(1-h)=-(1-h)2+2(1-h)+3=-h2+4，所以f(1+h)=f(1-h)，所以函数的图像关于x=1对称.,【类题通】1.如何探究函数的性质及图像主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性.如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数性质及图像，y轴左侧的可以根据奇偶性得到.,2.关于函数的对称性函数f(x)若对于任意xR，a是常数，(1)关于直线x=a对称：f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x)，,(2)关于点(a，b)对称：f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b)，特别地：关于点(a，0)对称，则f(a+h)=-f(a-h).,【习练破】求证：函数f(x)=的图像关于(-1，1)对称.,【证明】任取hR，因为f(-1+h)=f(-1-h)=所以f(-1+h)+f(-1-h)=所以函数f(x)=的图像关于(-1，1)对称.,【加练固】试探究函数f(x)=x|x|-2x的性质，作出图像并写出单调区间和值域.,【解析】函数的定义域为R，任取xR，则-xR，且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x)，所以函数f(x)=x|x|-2x是奇函