2020年新高考数学复习恒成立问题专题.doc

2020年新高考数学复习恒成立问题专题解析 考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于x的不等式f(x)0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数在区间上存在最小值和最大值，则:不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：不等式（或）在区间上恒成立；不等式（或）在区间上恒成立；应用举例【例1】已知定义在R上的函数和分别满足，则下列不等式恒成立的是A g(2016)f(2)g(2018) B f(2)g(2016)f(2)g(2018) D f(2)g(2016)g(2018)【答案】C【详解】 令，则f(0)=f(1)2e2，令，则f1=f1+2-2 f(0)，解得f1=2e2，则，令，g(x)+2g(x)e20162g(2018)，可得g(2016)e4g(2018) 故选【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。【例2】设，当x0时，不等式12x2+1-ax-alnx2a-32a2恒成立，则的取值范围是（ ）A B C 1,+ D 【答案】A a22+a-a2-alna2a-32a2，令ga=a2-a-alna0，a0则ha=1-1a令，可得当a0，1时，ha递减；当时，ha递增；则当时，故的解集为：且则的取值范围是故选A【点睛】本题运用导数解答了恒成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法。【例3】定义在上的函数的导函数为，且f(x)=f(1)eex+f(0)2x2-x，若存在实数使不等式对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（afxmin即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数. 【例4】已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）（2）由题意，lnxm(x2-1)，恒成立， 0m1),x=12mx(1,12m),g(x)0,g(x)递增，gxg1=0舍去综上，点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于第2问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.实战演练:1已知函数，（）求函数的单调区间及最值（）若对，恒成立，求的取值范围（）求证：13+15+17+12n+10得-1x0，恒成立，即对x0，a(x+2)1-ln(1+x)恒成立，令h(x)=(x+2)1-ln(1-x)，则h(x)=1-ln(1+x)-x+2x+1=-ln(1-x)-1x+1，当x0时，显然，在(0,+)上是减函数，当x0时，即的取值范围是 2已知函数，其中aR.（1）当时，求函数f(x)在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .(3) 0,1.（2）由，x0可得因为函数存在两个极值点，所以x1,x2是方程f(x)=0的两个正根，即的两个正根为所以=a2-4a0x1+x2=1x1x2=1a0，即所以=12ax1+x22-2x1x2-a(x1+x2)+lnx1x2+52a=2a-lna-1令，故，在(4,+)上单调递增，所以g(a)g(4)=7-ln4故得取值范围是（ii）若4a2-4a0，即a1，令，得（舍去），x2=1+a2-aa1，当时，h(x)0，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.若，令，得当时，h(x)0，h(x)在上单调增；当时，h(x)1-a2-aa，只要证：因为a0，所以，故所以其次证明，当a0时，对任意的x(1,+)都成立令，则，故t(x)在(1,+)上单调递增，所以，则所以当a0时，对任意的x(1,+)都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.3已知函数（）当时，求函数在点处的切线方程；（）当时，求证：对任意的恒成立.【答案】（1）（2）见解析 4函数.（1）当时，求fx在区间上的最值；（2）讨论fx的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）当a0时，在(0,+)递增；当-1a0，f(x)在上单调递增；当-1a0时，由得，或（舍去）在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，f(x)在单调递增，在上单调递减.当a-1时，f(x)在单调递减； 5已知函数f(x)=xlnx+ax+1，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明： .【答案】（1）-1,+)；（2）见解析（2）由（1），当a=-1时，有，即.要证，可证e(x-1)ex1，即证，x1.构造函数.则.当时，.G(x)在1,+)上单调递增.G(x)G(1)=0在(1,+)上成立，即，证得.当x(1,+)时，e(x-1)exlnx成立.构造函数H(x)=lnx-x2+x(x1).则H(x)=1x-2x+1 =-(2x2-x-1)x .当时，H(x)0，在上单调递减.H(x)H(1)=0，即.当x(1,+)时，成立.综上，当x(1,+)时，有.【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当a=-1时，有，即.要证e(x-1)exlnx，只需证e(x-1)ex1，即证eex1.同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形。6已知函数，.（1）当x0时，fxgx恒成立，试求实数a的取值范围；（2）若数列满足：，证明：.【答案】（1）；（2）见解析则Fx=x2-ax-cosx+cosx+a-xsinx=x-ax-sinx，令hx=x-sinxx0，则hx=1-cosx0，hx在R上单调递增，在0,+上也单调递增，当x0时，hx=x-sinxh0=0，在0,+上单调递增，FxF0=-a0恒成立，当时，Fx在0,a上单调递减，在上单调递增，而F0=-ae+m(x-1)对任意x(1,+)恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）(e-a)x-y+a=0；（2）me+1（2）由f(x)=ex-alnx，原不等式即为ex+lnx-e-m(x-1)0记F(x)=ex+lnx-e-m(x-1),F(1)=0依题意有F(x)0岁任意x1,+)恒成立，求导得，当x1时，F(x)0，则在(1,+)上单调递增，有F(x)F(1)若me+1，适合题意若me+1，则，又F(lnm)=1lnm0，故存在x1(1,lnm)使当1xx1时，得在(1,x1)上单调递减，在，舍去，综上，实数的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.8已知函数f(x)=1x+alnx，其中；（）若函数在处取得极值，求实数的值，（）在（）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值.（）令，若关于的方程在0,1内至少有两个解，求出实数的取值范围.【答案】（1）（2） (3) (3ln4,3)(3,+)（）当时，整理得t0，所以h(x)min=3ln2-1，即t0，即函数在(0,2)上是增函数，且，所以此时方程在区间(0,1)(1,2)上无解当时，F(t)0，同上方程无解当时，函数在(0,3a)上递增，在(3a,2)上递减，且3a1要使方程在区间(0,1)(1,2)上有解，则，即32-aln23ln4所以此时a(3ln4,3)当时，函数在(0,3a)上递增，在(3a,2)上递减，且3a1，此时方程在(0,3a)内必有解，当时，函数在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，且所以方程在区间(0,1)(1,2)内无解综上，实数的范围是(3ln4,3)(3,+)点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大9已知函数.（）若曲线在处的切线方程为，求fx的单调区间；（）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为：0,12和，单调递减区间为：12,1（2）3e2-1,+在0,12和上单调递增，在12,1上单调递减；即fx的单调递增区间为0,12和，单调递减区间为12,1（）当时，fxxfx2恒成立，即lnx+a2x2-a+1xx1x+ax-a+12，即2lnx0；xe2,+，Fx3e2a3e2-1，综上所述：实数a的取值范围是3e2-1,+点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、转化能力和数学运算能力10已知函数fx=alnx+x-1x，其中为实常数.（1）若x=12是的极大值点，求的极小值；（2）若不等式alnx-1xb-x对任意-52a0，12x2恒成立，求的最小值.【答案】（1）f2=32-5ln22（2）bmin=32.此时fx=-52lnx+x-1x.则所以fx在12,2上为减函数，在上为增函数.所以为极小值点，极小值f2=32-5ln22.（）不等式alnx-1xb-x即为fxb，所以bfmaxx.(i）若，则，fx=alnx+x-1xx-1x2-12=32.当，时取等号； 11已知函数，.(I)若恒成立，求实数a的取值范围；()当a取(I)中的最小值时，求证: g(x)-f(x)16x3.【答案】（1）1,+)（2）见解析【解析】分析：（1）根据f(x)g(x)，构造函数h(x)=sinx-ax(x0)，求出导函数h(x)=cosx-a.根据导函数的情况分类讨论a 在不同范围时满足不等式的解，求出a 的取值范围。（2）先求出(I)中的最小值时a的值为1；所以g(x)-f(x)=x-sinx.再构造函数H(x)=x-sinx-16x3(x0)，利用导数及其单调性求出H(x)=x-sinx -16x3H(0)=0，从而得证。详解：(I)令h(x)=sinx-ax(x0)，则h(x)=cosx-a.若a1，h(x)=cosx-a0，h(x)=sinx-ax(x0)单调递减， h(x)h(0)=0，则sinxax(x0)成立.若0a0，单调递增，h(x)h(0)=0，不合题意.若a0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知， a的取值范围是1,+)点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，根据题意构造合适的函数，分析所构造函数的单调性、最值进而求出其取值范围或证明不等式，高考中常考压轴题，属于难题。12已知函数f1(x)=(x-)2，（x0，且x1）.（1）当=1时，若对任意x(1,+)，f1(x)kf2(x)恒成立，求实数k的取值范围；（2）若(0,1)，设f(x) =f1(x)f2(x)，f(x)是f(x)的导函数，判断f(x)的零点个数，并证明.【答案】（1）(-,0（2）见解析（2）证明：由题意：f(x)=(x-)(2lnx+x-1)ln2x，由此可得为一个零点，令h(x)=2lnx+x-1（x0），则h(x)=2x-x2，h(x)的减区间为(0,2)，单调增区间为(2,+)，其中01，则h(x)min=h(2)=2ln2+11-ln40，h()=2ln0，h(1)=-12时，h(e)=1+e-10，由零点存在定理及单调性可知在(2,+)上存在唯一的零点x2，取x=2e2(2e2g(1)=e2-50，即h(2e2)0，由零点存在定理及单调性可知在(2e2,2)上存在唯一x3(2e2,2)，h(x3)=0，由h(x)的单调递减区间是(0,2)，则在(0,2)上h(x)仅存在唯一的零点x3，综上可知f(x)共有三个零点.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。13已知函数f(x)=1n(x+1)-ax，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，设g(x)=f(x-1)，h(x)=1nxx+1，满足g(x)h(x)恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）12,+)当x(1a-1,+)，f(x)0，m(x)在1,+)递增，m(x)m(1)=1-2a0m(x)在1,+)递增，m(x)m(1)=0从而g(x)-h(x)0，不符合题意.(2)若0a0，m(x)在(1,12a)递增，从而m(x)m(1)=1-2a，以下论证同(1)一样，所以不符