数学复习资料6

3.5.2简单线性规划,1：画出不等式（组）表示的平面区域：y2x+14x-3y9x+2y4,说明：直线定界、特殊点定域划分区域时，找好特殊点，注意不等号。,y=2x+1,x+2y=4,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题：有无最大(小)值？,x,y,o,问题：2+有无最大(小)值？,引例,设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值,分析：不等式组表示的区域是图中的ABC,z=2x+y,l2,l1,求最值的方法1.截距法,在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于l0的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的截距最大故zmax=25+2=12，以经过点B(1，1)的直线l1所对应的z最小故zmin=21+1=3,思考:2x+y-z=0(zR)可看作什么?一组平行直线,都与直线l0：2x+y=0平行.,求最值的方法2.距离法,作一组与直线l0平行的直线(或平行移动直线l0)l：2x+y=z，zR,求最值的方法2.距离法,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的d最大，,l2,求最值的方法2.距离法,以经过点B(1，1)的直线l1所对应的d最小所以：zmax=25+2=12，zmin=21+1=3,l2,l1,求最值的方法2.距离法,在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数由于z=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数,线性规划的有关概念：,线性规划的概念：,问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。,目标函数（线性目标函数）,线性约束条件,注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题,线性规划的有关概念：,满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解(5，2)和(1，1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解,线性规划的有关概念：,解线性规划问题的基本步骤：第一步在平面直角坐标系中画出可行域.第二步：平移直线在可行域内找出最优解所对应的点(找使纵截距取得最值时的点).第三步：解方程组，从而求出目标函数的最大值或最小值,简记为:画.移.求,例1已知x、y满足，试求z=300 x+900y的最大值,典型例题：,分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300 x+900y取最大值时的点,例1已知x、y满足，试求z=300 x+900y的最大值,典型例题：,解：作出可行域，见图中四边形AOBC表示的平面区域,典型例题：,作出直线l0：300 x+900y=0，即x+3y=0，将它平移至点A，显然，点A的坐标是可行域中的最优解，它使z=300 x+900y达到最大值易得点A(0，125)，所以zmax=3000+900125=112500,l0：x+3y=0,2x+y=300,典型例题：,变题1：在例1中，若目标函数设为z=400 x+300y，约束条件不变，则z的最大值在点C处取得,l0：4x+3y=0,2x+y=300,变题2：若目标函数设为z=300 x+600y，约束条件不变，则z的最大值?,可在线段AC上任一点处取得,事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数z=ax+by(a0，b0)所确定的直线l0：ax+by=0的斜率()有关就本例而言，若=(直线x+2y=250的斜率)，则线段AC上所有点都使z取得最大值(如：z=300 x+600y时)；,当0时，点A处使z取得最大值(比如：例1)；当2时，点C处使z取得最大值(比如：z=400 x+300y时)，其它情况请同学们课外思考,例2：设z2xy,式中变量x、y满足下列条件求的最大值和最小值。,解：作出可行域如图：,当0时，设直线l0：2xy0,当l0经过可行域上点A时，z最小，即最大。,当l0经过可行域上点C时，最大，即最小。,zmax2528zmin214.42.4,(5,2),(1,4.4),平移l0，,平移l0，,2xy0,三个转化,图解法,想一想(结论):,线性约束条件,可行域,线性目标函数Z=Ax+By,最优解,寻找平行线组的最大（小）纵截距,求最值的方法:1,距离法;2,截距法.,1（2012年高考（辽宁文理）设变量x,y满足则2x+3y的最大值为（）A20B35C45D55,1.【答案】D【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D,D,2（2012年高考（天津文）设变量满足约束条件则目标函数的最小值（）A-5B-4C-2D3,【解析】做出不等式对应的可行域如图,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.,B,3（2012年高考（浙江文）设z=x+2y,其中实数x,y满足,则z的取值范围是_.,【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点时最大值为.,0,1.求z=600 x+300y的最大值，使式中的x，y满足约束条件,附加练习,分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解,2x+y=0,zmax=60070+30090=69000,2.已知x、y满足不等式组求z=3x+y的最小值,附加练习,分析：可先找出可行域,平行移动直线l0：3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.,zmin=1,l0：3x+y=0,3满足线性约束条件的可行域内共有_个整数点,4,4设z=xy，式中变量x，y满足求z的最大值和最小值,zmax=1，zmin=3,附加练习：