22.2.4一元二次方程根与系数的关系

22.2.4一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：,X=,(b2-4ac0),1.填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律；ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律：,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,一元二次方程根与系数关系的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,示例,典型题讲解：,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(1)(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,(2)(x1x2)2x12+x222x1x2,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,变式练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。,（2）,（1）,（）（x1-x2）2,典型题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数关系，得x123k,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,典型题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22=4，得2k2-8k+44,解得k1=0,k2=4,经检验，k2=4不合题意，舍去。,k=0,归纳小结：,通过本节课的学习你学到了那