高三数学第二篇第八节实际问题的函数建模课件理北师大

第八节实际问题的函数建模,1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型,(2)三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有.对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有.由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此没能在(0)上，总会存在一个x0，使xx0时有.,快于,axxn,慢于,logaxxnlogax,2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)：求解数学模型，得出数学结论；(4)：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：,审题,建模,求模,还原,1.下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()A.yf(1,100)exBy100lnxC.yx100Dy1002x【答案】A,【解析】在(0，)上，总存在一个x0，使xx0时，有axxnlogax.排除B、C，又e2，的增长速度大于1002x的增长速度,2.在一定范围内，某种产品的购买量yt与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000t，每吨为800元；购买2000t，每吨为700元；一客户购买400t，单价应该是()A.820元B840元C.860元D880元【解析】依题意，可设y与x的函数关系式为ykxb，由x800，y1000及x700，y2000，可得k10，b9000，即y10 x9000，将y400代入得x860.【答案】C,3.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过200元，不予以折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款()A.570.3元B582.6元C.590.5元D600元【答案】B,【解析】由题意得付款432元时,实际标价为432480元时，如果一次购买标价176480656(元)的商品应付款,5000.91560.85582.6(元),4.某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_【答案】11.11%,【解析】设商品原价为a，应提价为x，则有a(110%)(1x)a，,5.某工厂生产其种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_【答案】2500万元,【解析】总利润L(Q)40QQ210Q2000(Q300)22500.故当Q300时，总利润最大值为2500万元,一次函数与二次函数模型,某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.,(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？【思路点拨】(1)需证明其四边相等，且四个内角均为90；(2)先列出函数表达式，由函数模型求出最值,【自主探究】(1)图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90，180，270后得到，EFFGGHHE，CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形(2)设CEx，则BE0.4x，每块地砖的费用为W，制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，,Wx23a0.4(0.4x)2a0.16x20.4(0.4x)aa(x20.2x0.24)a(x0.1)20.23(00，当x0.1时，W有最小值，即总费用最省当CECF0.1米时，总费用最省【方法点评】1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错,1.某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(00，可解得0x50.设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元，则f(x)(100x)a(12x%)1.2ax100a0.02a(x2110 x)0.02a(x55)260.5a，x(0,50f(x)在(0,50上单调递增，当x50时，f(x)max60a，因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多,分段函数模型,北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值,【思路点拨】(1)利润(售价进价管理费)(销售的纪念章数)，注意价格取值是分段的；(2)分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小,【自主探究】(1)依题意,此函数的定义域为(0,40),当0x20，则当x16时，ymax32400(元)当204时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.,指数函数模型,某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210),【思路点拨】,【自主探究】(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.,x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN*)(2)10年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年)因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人【方法点评】指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示通常可表示为ya(1p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式,3.对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树林成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形),【解析】设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：连续生长十年，木材量NQ(118%)5(110%)5；生长五年后重栽，木材量M2Q(118%)5，则因为(110%)51.611，即MN.因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量,1.(2009年湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A.2000元B2200元C.2400元D2800元,【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400 x300y的最小值解得当时zmin2200，故选B.【答案】B,2.(2009年上海高考)可用函数f(x)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科,【解析】(1)证明：当x7时，f(x1)f(x)而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减当x7，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln0.85，整理得解得a620.506123.0，123.0(121,127由此可知，该学科是乙学科,3.(2009年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,所以,【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n,当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小,解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解从近几年高考