矢量分析-电磁场与电磁波.ppt

第一章矢量分析,本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理,场的概念,标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q等。矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。,矢性函数：设t是数性变量，为变矢，对于某区间Ga,b内的每一个数值t，都有一确定的矢量与之对应，则称为数性变量t的矢性函数，记为：,物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压U、电荷量Q等。场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。,场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续场的分类按与时间的关系分：静态场/时变场，各处物理量是否随时间变化按与方向关系分：标量场/矢量场，各处物理量是标量还是矢量,矢量代数,空矢或零矢：一个大小为零的矢量单位矢量：一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿x，y，z轴分量的方向。,矢量的表示方法,矢量一般表示：，A为矢量的大小，为方向,注意：单位矢量不一定是常矢量。,任一矢量可以表示为：,位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：,结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直,数学知识补充矢量的代数运算求和差作图法：平行四边形法则分量法：求点积（标量积、内积）公式：特点：,直角坐标系中：,求叉积（矢量积、外积）,结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行,公式：,特点：,直角坐标系中：,右手螺旋法则,数学知识补充矩阵和行列式的计算,代数余子式：的余子式前添加符号，称的代数余子式，记为，,例：求中元素的余子式和代数余子式,余子式：在n阶行列式中去掉元素所在的行和列，剩下的n-1阶行列式称为元素的余子式。记为,n阶行列式的计算：等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即,例：求,矩阵的乘法：设A=(aij)是ms矩阵，B=(bij)是sn矩阵，作A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和,则矩阵为矩阵A与B的乘积,解：,方程组的矩阵表示,设矩阵,可记为Y=AX则X=A-1Y，A-1为A的逆矩阵，要求X，只需求A-1，即求A的逆矩阵,逆矩阵的求法,其中,为A的伴随矩阵,n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0,且当A可逆时，有,Aij是|A|的元素aij的代数余子式,注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵,解：,矢量的混合运算,分配律,分配律,标量三重积,矢量三重积,三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,1.2三种常用的正交曲线坐标系,在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。,三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。,1.直角坐标系,位置矢量,面元矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,2.圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,圆柱坐标系中的线元、面元和体积元,3.球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,球坐标系中的线元、面元和体积元,4.坐标单位矢量之间的关系,直角坐标与圆柱坐标系,圆柱坐标与球坐标系,直角坐标与球坐标系,1.3标量场的梯度,物理量是标量，称为标量场。如：温度场、电位场、高度场等。物理量是矢量，称为矢量场。如：流速场、重力场、电场、磁场等。场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。,时变标量场和矢量场可分别表示为：,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：,标量场和矢量场,静态标量场和矢量场可分别表示为：,研究标量场和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。,标量场的等值面,等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。如等温面等。,等值面方程：,常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。,等值面的特点：,意义:形象直观地描述了标量场物理量在空间的分布状态。,等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。,2.标量场方向导数(标量)DirectionalDerivative,的极限存在，称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为,结论：,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率,表明M0处函数沿l方向增加，反之减小,若函数=(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为,证明：M点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函数在M0处可微，故,两边除以，可得,当趋于零时对上式取极限，可得,3.标量场的梯度(矢量)gradient,在直角坐标系中,梯度的定义：在标量场中的一点M处，其方向为函数在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量，称为标量场在M点处的梯度，用表示。,方向：函数在M点处变化率最大的方向,大小：最大变化率的矢量的模,哈米尔顿（Hamilton）算子定义：(读作del)是一个矢性微分算子（是一个微分符号，同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，算子的表达式为：,补充：,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,标量场的梯度（或）,意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,概念：，其中取得最大值的方向,梯度的性质：,标量场中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数的增大方向。即梯度为该等值面的法向矢量。,在某点M处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。,任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值,梯度运算法则,设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。,例1求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或：,例2设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：,证明：,所以,解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,例1.2.1设一标量函数(x,y,z)=x2y2z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,而该点的梯度值为,显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。,1.矢量线,意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。,矢量线方程：,概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。,1.4矢量场的通量和散度,矢量线的作用根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。,A点受到向下电场力B点受到向下电场力A点比B点受到的力大越密矢量越大,例2求矢量场的矢量线方程解：矢量线应满足的微分方程为,从而有,c1和c2是积分常数。,一、面元矢量：面积很小的有向曲面,方向：1、开曲面上的面元2、闭合面上的面元,确定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋拇指方向,闭合曲面的外法线方向,2.矢量场的通量（flux）,二、通量（标量）,2、穿过整个曲面S的通量,3、穿过闭合曲面S的通量,通量特性：反映某一空间内场源总的特性,通过闭合面S的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，S内有发出矢量线的正源0，穿出少于穿入，S内有汇集矢量线的负源=0，穿出等于穿入，S内无源，或正源负源代数和为0,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果,闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。,通量的物理意义,例1在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为：,求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图)。,解：,由于球面的法线方向与D的方向一致，所以,3.矢量场的散度(divergence),散度的定义：,极限存在，此极限为矢量场,在某点的散度,散度的定义式：,散度的物理意义：散度表征矢量场的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度通量密度,正源,负源,无源,若散度处处为零矢量场为无源场,散度的计算：,在直角坐标系下：,哈密尔顿算子,散度符合规则：,例1-9原点处点电荷q产生电位移矢量试求电位移矢量的散度。,解：,r=0以外空间均为无源场,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,散度的表达式：,散度的有关公式：,直角坐标系下散度表达式的推导,由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则,根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为,4散度定理（高斯散度定理）,散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。,应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,证明：散度定理,证：将闭合曲面S包围的体积V分成许多小体积元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，再叠加。由散度定义有：,可得：,由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共表面上的通量等值异号，求和时互相抵消。有部分表面在S面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭面S穿出的通量。因此有：,例1球面S上任意点的位置矢量为求,解：根据散度定理知,而散度为,所以,R为球面半径,1.5矢量场的环流与旋度,矢量场的环流与旋涡源,例如：流速场。,不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,1矢量场的环量（标量）(circulation),环量的定义：,结论：矢量的环量也是一个标量矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源,例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源,环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性,2矢量场的旋度（矢量）(rotation),一、环量面密度的定义（标量）,此极限即为该点的环量面密度。,面元的方向：面元的方向与闭合曲线c的绕行方向成右手螺旋关系。,结论：,面元矢量与旋涡面方向垂直，环量面密度等于零,面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大,面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最大值,二、旋度的定义（矢量）,旋度大小：最大环量面密度的数值旋度方向：环量面密度最大时的面元的方向,引入哈密尔顿算子,在直角坐标系中,结论：旋度描述矢量在该点的旋涡源强度。,矢量场在P点处沿任一方向的环量面密度为旋度在方向上的投影。,若，则为无旋场，反之为有旋场,旋度的运算规则,直角坐标系中,2为拉普拉斯算子,如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。,环流的概念,矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即,如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,旋度的计算公式:,旋度的有关公式：,3.斯托克斯定理,斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,4.散度和旋度的区别,1.矢量场的源,散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；,旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。,1.6无旋场与无散场,2.矢量场按源的分类,（1）无旋场,性质：，线积分与路径无关，是保守场。,仅有散度源而无旋度源的矢量场，,无旋场可以用标量场的梯度表示为,例如：静电场,（2）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质：,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度,例如，恒定磁场,（3）无旋、无散场,（源在所讨论的区域之外）,（4）有散、有旋场,这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,1.7拉普拉斯运算与格林定理,1.拉普拉斯运算,标量拉普拉斯运算,概念：,拉普拉斯算符,直角坐标系,计算公式：,圆柱坐标系,球坐标系,矢量拉普拉斯运算,概念：,即,注意：对于非直角分量，,直角坐标系中：,如：,2.格林定理,设任意两个标量场及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场及满足下列等式：,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,以上两式称为标量第一格林定理。,式中S为包围V的闭合曲面，为标量场在S表面的外法线方向上的偏导数。,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求