浙江温州龙湾中学高三数学 数列的递推公式与通项课件

数列的递推公式与通项,递推公式的“一式用二次”是求通项公式中常用的思想,引例：,数列满足：，求数列an的通项。,练习：数列an满足：，则数列an的通项。,1.形如an+1-an=f(n)型,(1)若f(n)为常数，即an+1-an=d,此时数列an为等差数列，则an=a1+(n-1)d;(2)若f(n)为n的函数，用累加法，也可用横式表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1,例1:(1)已知数列an满足a1=1,an=n2+2n+an-1(n2),求an(2)已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2),求an;(3)已知数列an满足a1=3,an=an-1+,求an;,2.形如an+1/an=f(n)型,例（1）数列an中，a1=1,(n+1)an+1=nan，求an的表达式。(2)设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2-an+1an=0(n=1,2,3,),则它的通项an=_.,(1)若f(n)为常数，即an+1/an=q,此时数列an为等比数列，则an=a1qn-1;(2)若f(n)为n的函数，用累乘法，即.an=f(n-1)f(n-2)f(2)f(1)a1,3.形如an+1=can+d(c0,a1=a)型,(1)若c=1,数列an为等差数列；(2)若d=0,数列an为等比数列；(3)若c1且cd0时,数列an为线性递推数列,其通项通过待定系数法构造辅助数列来求.,例（1）在数列an中，an+1=2an3，a1=5，求an的通项公式（2）数列an中，a1=2，且an+1=，求an的通项公式,4.形如an+1=can+f(n)型,(1)若f(n)=kn+b(其中k,b为常数,且k0),例：在数列an中,a1=1,an+1=3an+2n,求an.,待定系数法：设an+1+A（n+1）+B=c(an+An+B),求出A、B，转化为等比数列求通项.,例（1）设a1=1，且an=3n+2an-1(n1)，求an通项（2）设a1=1，且an=3n-1+2an-1(n1)，求an通项,(2)若f(n)=qn(其中q为常数,且q0,1)当c=1时,累加即可；当c1时,即an+1=can+qn,求通项有以下三个方向：)两边同除以cn+1;)两边同除以qn+1;)待定系数法：设an+1+qn+1=c(an+qn),求出，转化为等比数列求通项.,4.形如an+1=can+f(n)型,5.形如an+1=pan+qan-1(其中p,q为常数)型,例：数列an中,若a1=8,a2=2,且满足an+2-4an+1+3an=0,求an.,练习：数列an中,若a1=1,a2=5,且满足an+2-5an+1+6an=0,求an.,先用待定系数法将递推公式变形为an+1-Aan=B(an-Aan-1)再求解。,6.形如an+1=pan/(ran+s)型,p,r,s0,即，取倒数法,例：已知数列an中,a1=1,求an.,7.形如an+1=panr(其中p,r为常数)型,(1)p0,an0,用对数法，等式两边去以p为底的对数,例：设正项数列an满足a1=1,an=2an-12(n2),求an.,例:已知正项数列an满足a0=1,an+1=求an.,(2)p0，n=2,3,4）求证：数列an是等比数列；,10.形如f(Sn,an)=0型,利用an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型,例.已知数列an满足Sn+an=2n+1，其中Sn是an的前n项和，求an的通项公式,11.形如an+1+an=f(n)型,(1)an+1+an=d(d为常数)，则数列an为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2.(2)若f(n)为n的函数(非常数)，可通过构造化为an+1an=f(n)型,通过累加求出通项，若用逐差法(两式相减),得an+1an-1=f(n)f(n-1),分奇数项、偶数项求通项.,例3:数列an满足a1=0,an+1+an=2n，求an;例4:已知数列an的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=且S11,S2,求数列an的通项公式.,12.形如an+1an=f(n)型,(1)an+1an=p(p为常数)，