高三数学第六篇第五节直线与圆、圆与圆的位置关系课件理北师大

第五节直线与圆、圆与圆的位置关系,1直线与圆的位置关系,相切,0,dr,dr,dr,求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解,2圆与圆的位置关系,外切,dRr,dRr,RrdRr,dRr,1,2,1,0,0,【答案】D,2圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条B2条C3条D4条【解析】C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.,|C1C2|，0|C1C2|r1r24，两圆相交，有两条公切线【答案】B,3设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2y22相切，则a的值为()AB2C2D4,【答案】B,4设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a_.,【答案】0,5若圆x2y24上仅有一个点到直线xyb0的距离为1，则实数b_.【解析】由已知可得，圆心到直线xyb0的距离为3，3，b3.【答案】3,已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等,【思路点拨】用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长【自主探究】(1)配方得：(x3m)2y(m1)225，,【方法点评】直线和圆的位置关系的判定有两种方法：(1)第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离(2)第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即dr直线与圆相交；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离,1已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点【解析】方法一：圆心O(0,0)到直线yxb的距离为,(2)当dr时，即b2时，直线与圆相切，有一个公共点；(3)当dr，即b2或b2时，直线与圆相离，无公共点方法二：联立两个方程得方程组消去y得，2x22bxb220，164b2.(1)当0，即2b2时，有两个公共点；(2)当0，即b2时，有一个公共点；(3)当0，即b2或b2时无公共点,已知圆M：x2y22mx2nym210与圆N：x2y22x2y20交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程【思路点拨】先由两圆方程求出直线AB的方程，则由题意知AB过N的圆心，半径最小可转化为圆心到AB的距离最小【自主探究】由圆M的方程知圆心M(m，n)又由方程组,两式相减得直线AB的方程为2(m1)x2(n1)ym210.又AB平分圆N的圆周，所以圆N的圆心N(1，1)在直线AB上，2(m1)(1)2(n1)(1)m210.m22m2n50即(m1)22(n2)(*)(x1)22(y2)即为点M的轨迹方程又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，此时|MN|也最小,即最小值为1，此时m1，n2.故此时圆M的方程为(x1)2(y2)25.【方法点评】1.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到,3两圆公切线的条数(1)两圆内含时，公切线条数为0；(2)两圆内切时，公切线条数为1；(3)两圆相交时，公切线条数为2；(4)两圆外切时，公切线条数为3；(5)两圆相离时，公切线条数为4.因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系,2本例的条件不变，在圆半径最小的情况下，求过A，B两点，且被A，B两点截得的两段弧长之比为12的圆的方程【解析】由例2可知，当圆的半径最小时，m1，n2,直线AB方程为y1.又圆M的圆心M(1，2)，圆N的圆心N(1，1)，直线MN的方程为x1，可设所求圆的圆心P(1，y)，P到AB的距离d|y1|.又由题意知APB120，而|AB|4，,已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值,【自主探究】(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r，知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.,【方法点评】1.求圆的切线方程一般有两种方法：(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.,两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选【特别提醒】在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况2若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0 xy0yr2.3圆的弦长的求法：,3已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值【解析】(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a,1(2009年浙江高考)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3B4C5D6【解析】边长为3,4,5的三角形内切圆半径为r1.而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点连线上移动时，都会产生4个交点故选B.【答案】B,2(2009年陕西高考)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A.B2C.D2,【解析】圆x2y24y0的圆心C(0,2)，半径r2，由图可知C到直线AO的距离为1，AO2，故选D.【答案】D,【答案】A,4(2009年上海高考)过圆C：(x1)2(y1)21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分(如图)若这四部分图形面积满足SSSS，则这样的直线AB有()A0条B1条C2条D3条,【解析】由图形可知：S、S为定值，S增大时，S减小，又S=S+S-S，显然，S是关于S的一次函数且单调递增，S既是(0，+)上关于S的增函数，也是(0，+)上关于S的减函数且S(0，+)由一次函数性质可知，同时满足两种情况的解唯一存在故选B.【答案】B,1直线与圆的位置关系问题讨论直线与圆的位置关系问题时，要养成作图的习惯，运用数形结合的思想，综合代数的、几何的知识进行求解一般说来，运用几何法解题运算较简便，但代数法更具一般性2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系重点依据圆心距d和两圆半径r1，r2的关系判断，要注意两圆的位置关系与两圆公切线条数的依附关系,3过交点的圆系问题对涉及过直线与圆、圆与圆的交点圆问题，可考虑利用过交点的圆系解决问题，在运算上往往比较简便4直线与圆相切时切线的求法(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.,(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程几何