相交线与平行线复习樊

相交线与平行线复习课,相交线,两条直线相交,两条直线被第三条所截,一般情况,邻补角,对顶角,邻补角互补,对顶角相等,特殊,垂直,存在性和唯一性,垂线段最短,点到直线的距离,同位角、内错角、同旁内角,平行线,平行公理及其推论,平行线的判定,平行线的性质,两条平行线的距离,平移,平移的特征,命题,知识框架,知识框架,一、相交线：,垂直,斜交,三线八角,如图，直线AB与CD相交，1和2有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。,互为邻补角的两个角和为180。,互为邻补角和互为补角有什么区别？,问题,互为邻补角,有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线；它们的和为180。,互为补角,它们的位置不确定；它们的和是180。,对顶角的概念,?,如下图所示，1与3有什么特点？,1和3具有相同的顶点，且1的两边OA、OC分别与3的两边OB、OD互为反向延长线，,射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线，即射线OB。,我们把这样的两个角叫做对顶角。2和4也是对顶角.,如图，直线AB与CD相交，1和3有公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。,猜想,1、对顶角在数量上有什么关系？,2、你可以用哪些方法进行验证？,O,A,B,C,D,）,（,1,3,4,2,）,（,已知：直线AB与CD相交于O点(如图),说明1=3、2=4的理由,解：直线AB与CD相交于O点,1+2=180、2+3=180,1=3,同理可得：2=4,垂线的定义,2.垂直用符号“”来表示，读作“垂直于”。如图“直线AB垂直于直线CD”，就记作“ABCD”，交点O叫做垂足。,1.定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直。,O,A,B,C,D,我们把其中一条直线叫做另一条直线的垂线,O,C,D,A,B,画已知直线AB的垂线,垂线的画法：,l,A,如图，已知直线l和l外的一点A,作l的垂线.,B,则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.,请同学们画一下,垂线段：线段AB,垂线的性质,P,从上面的画图过程中，你能得到什么结论？不妨说说看！,垂线的性质（1）：平面内，过直线上一点或直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。,A,P,B,A,B,过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。,线段、射线的垂线应怎么画呢？,A,B,O,A,(二)、垂直：,2、画法：,3、性质：,两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。,过一点画一条直线的垂线。,P,a,Q,(1)、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。,p,A,B,C,D,E,(2)、垂线段最短。,点到直线的距离:,b,b,c,1、定义：,点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离.,判断:,1、画出点A到直线BC的距离。（）,2、画出点A到直线BC的垂线段。（）,3、量出点A到直线BC的距离。（）,4、垂线最短。（）,D,、如图，ACBC,CDAB，垂足分别是C点、D点。(1)点B到CD的距离是线段_的长度；(2)点C到AB的距离是线段_的长度；(3)点A到CB的距离是线段_的长度。,BD,CD,AC,过一点画已知直线的垂线的方法,过一点画垂线的方法可归纳为“一靠、二过、三画、四标”,1.一靠：把三角板的一条直角边靠在已知直线上；2.二过：让三角板的另一条直角边经过已知点；,3.三画：沿着已知点所在的直角边画直线；,P,如图，线段AB叫做点A到直线l的垂线段，,注意他们的区别！,点到直线的距离：,直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。,线段AB的长度就是点A到直线l的距离,如图，已知AB.CD相交于O,OECD于O,AOC=36，则BOE=。,(A)36(B)64(C)144(D)54,A,B,O,C,D,E,54,随堂练习,1、判断1）一条直线的垂线只能画一条（）2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线互相垂直（）3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离（）4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）,3、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。,张庄,P,小试牛刀,1、直线m外有点P，它到直线m上点A、B、C的距离分别是6厘米、3厘米、5厘米，则点P到直线m的距离()A等于6厘米.B.等于3厘米C.等于5厘米D.不大于3厘米2、如右图，若OCAB于点O，OEOD，则图中互余的角有()A.4对B.3对C.2对D.1对,3、如右图，直线a、b、c相交于一点，若1:2:3=1:2:3，则2的度数为_度。3的度数为_度。直线a、b的位置关系是_。,a,b,c,D,A,60,90,互相垂直,4、如右图，按要求完成下列各题：,m,A,B,请画出由A地经过B地去河边m的最短路线；确定A地去B地的路线的依据是：_；确定B地去河边的路线的依据是：_。,5、如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分DOF，OEAB，O为垂足，1=50，求AOC和COF的度数。,能力挑战：,C,两点之间，线段最短,垂线段最短,中考在线：【2008四川乐山】如图，直线l1与l2相交于点O，OMl1，若=44，则=（）,46,练习,一、下列叙述中不正确的是（）,（A）经过直外一点只能画一条已知道直线的垂线,（B）如果两条直线相交所构成的四个角中有三个角度相等，那么这两条直线一定垂直,（C）直线l上有三点A、B、C，在直线l个外有一点P，若PBPA、PBPC，则BP垂直于直线l,（D）两条线段垂直是指这两条线段所在的直线垂直,C,二、一辆汽车在直线型公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到P位置时离村庄M最近；行驶到Q位置时离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P、Q两点的位置,A,B,M,N,三、如图，直线AB与CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF=65o，求BOE和AOC的度数。,A,B,O,F,C,D,E,OECD，OFAB,解：,BOF=DOE=90o,BOD=BOF-DOF=90o-65o=25o,BOE=DOE-BOD=90o-25o=65o,而AOC=BOD=25o,(对顶角相等),答：BOE=65o，AOC=25o,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,6,7,8,同位角:,内错角:,同旁内角:,1与5;4与8;2与6;3与7.,4与6;3与5.,4与5;3与6.,如图:A和哪个角是同位角?,A和哪个角是内错角?,A和哪个角是同旁内角?,（COE、COB）,(C、AOD),(B、AOB、AOE),(三)、三线八角:,概念辨析,一、判断题1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（）2、两条直线相交，有两组对顶角。（）3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么其余的三个角也是直角。（）,二、选择题1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）A。AOC和BOE是对顶角；B。COE和AOD是对顶角；C。BOC和AOD是对顶角；D。AOE和DOE是对顶角。2、如右图中直线AB、CD交于O，OE是BOC的平分线且BOE=50度，那么AOE=（）度（A）80；（B）100；（C）130（D）150。,A,B,C,D,O,E,C,C,A,C,B,D,E,F,如图:怎样描述这三条直线的位置关系？,直线AB、CD被EF所截,观察,截线,三线八角,F,问题：1、观察1与5的位置关系,A,C,B,D,E,1,2,3,4,5,6,7,8,7,8,5,4,1,3,2,6,观察1和5两角:,F,7,8,5,4,1,3,2,6,5,1,各有一边在同一直线上,观察1和5两角:,7,8,5,4,1,3,2,6,两角在直线EF的同一侧,5,1,观察1和5两角:,E,F,7,8,5,4,1,3,2,6,两角分别在直线AB,CD同一方,5,1,观察1和5两角:,A,B,D,C,同位角,观察1和5两角:,分别在截线的左侧,在被截直线的下方,两角在截线的同一侧,两角在两条被截直线同一方,这样位置的一对角就是,7,8,5,4,1,3,2,6,图中的同位角除1和5外，还有,在形如字母“F”的图形中有同位角。,变式图形：图中的1与2都是同位角。,图中的1与2是同位角吗？,7,8,5,4,1,3,2,6,观察3和5两角：,Z,7,8,5,4,1,3,2,6,各有一边在同一直线上,5,3,观察3和5两角：,7,8,5,4,1,3,2,6,两角在直线EF的两侧,5,3,观察3和5两角：,E,F,7,8,5,4,1,3,2,6,两角在直线AB,CD之间,5,3,观察3和5两角：,A,B,C,D,一边都在截线上，两角在截线的两侧且在两条被截直线之间的一对角,内错角,5,3,观察3和5两角：,夹在两被截直线内,分别在截线两侧(交错),7,8,5,4,1,3,2,6,图中的内错角除3和5外，还有,图中的1与2都是内错角吗？,图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。,图中的1与2都是内错角,7,8,5,4,1,3,2,6,观察3和6：,U,7,8,5,4,1,3,2,6,各有一边在同一直线上,3,6,观察3和6：,7,8,5,4,1,3,2,6,两角在直线EF的同一侧,3,6,观察3和6：,A,B,C,D,E,F,7,8,5,4,1,3,2,6,两角在直线AB,CD之间,3,6,观察3和6：,A,B,C,D,一边都在截线上，两角在截线的同侧且在两条被截直线之间的一对角,同旁内角,3,6,观察3和6：,在截线同旁,夹在两被截直线内,7,8,5,4,1,3,2,6,图中的同旁内角除3和6外，还有,形如字母“U”,在两条被截直线之间，在截线同侧,同旁内角,形如字母“Z”(或反置),在两条被截直线之间，在截线两侧(交错),内错角,形如字母“F”(或倒置),在两条被截直线同旁，在截线同侧,同位角,图形结构特征,位置特征,角的名称,课堂练习,识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角。,1,2,（1）,同位角,1,2,（2）,1,2,（3）,1,2,（4）,1,2,（5）,a,b,c,1,2,(6),1,2,(7),1,2,(8),1,2,1,2,(9),(10),同位角,同位角,同位角,同位角,内错角,同旁内角,典型例题,1、直线AB、CD相交于点O，1=28求2和3.,变式1：若AOCBOD100求BOC的度数.,典型例题,变式2：若OM、ON分别平分AOD、BOD，求MON的度数.,垂直的定义的应用格式,AOC=90（已知），ABCD（垂直的定义）,如果直线AB、CD相交于点O，AOC=90（或三个角中的一个角等于90），那么ABCD.,这个推理过程可以写成：,ABCD（已知），AOC90（垂直的定义）,如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:,1、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3（C）2（D）1,A,概念辨析,直线AB,CD相交于点O，OMAB于O，且DOM=COM,求AOD的度数,巩固练习,垂线性质一,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.,线段、射线的垂线应怎么画呢？,相关知识要点,1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。,（1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？,（2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？,垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。,A,B,P,D,1、下列说法正确的是（）,巩固练习,D,1、如图，过点P把两条笔直的公路连接起来，在图中画出最短连接的路线.,巩固练习,2、过一个角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为，求原来已知角的大小.,如图：直线a、b被直线l截的8个角中,同位角：1与5,2与6,3与7,4与8.,内错角：3与5,4与6.,同旁内角：4与5,3与6.,练一练,（1）1和9是由直线、被直线所截成的角；,（2）6和12是由直线、被直线所截成的角；,（3）4和6是由直线、被直线所截成的角；,（4）由直线AB、CD被直线EF所截成的同位角有；,（5）7和12是角；,AB,CD,EF,同位,AB,EF,CD,内错,AB,CD,EF,同旁内,1和9、4和12、2和10、3和11,同旁内,（4）.如图所示5个角中，1和3是_角，1和4是_角，2和5是_角，1和5是_角，3和4是_角。,3,1,5,2,4,（3题）,（5）.如图：1与C是直线_与直线_被直线_所截的。2与_是同旁内角，与B是同位角的有_.,E,A,B,D,C,1,3,2,(4题）,内错角,邻补,同旁内角,对顶,同位,AC,BC,AD,B,3,EAC,1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。,（）如果没有“同一平面内”，不相交的两条直线平行吗？,（）定义中的“直线”能改成“线段或射线”吗？,平行线定义,我们通常用“/”表示平行。,2：平行线的表示法：,读作：“AB平行于CD”,读作：“m平行于n”,探究二：,同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行,在同一平面内，两条直线有几种位置关系呢？,3、平行线的画法：,一放,二靠,三移（推）,四画,过直线外一点作直线的平行线，看看你能作出吗？能作出几条？,A,B,P,通过画图，你发现了什么？,经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理）,说明：人们在长期实践中总结出来的结论叫基本事实，也称为公理，它可以作为以后推理的依据,由以上的实践你发现了什么？说说看,存在性,唯一性,平行公理的推论：,如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行,几何语言表达：,a/c,c/b(已知）a/b(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）,平行线的判定,1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简单地说：同位角相等，两直线平行。,1=2（已知）,ab（同位角相等，两直线平行）,如图：,2,1,内错角相等，两直线平行。,_=_（已知）_（内错角相等，两直线平行）,1,2,如图：如果1=2，那么a与b平行吗？,1,2,a,b,如图，直线a、b被直线c所截，若12180，则ab。,同旁内角互补，两直线平行。,平行线的性质1（公理）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。,平行线的性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。,平行线的性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补。,5.,在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。,相交,1.直线AB、CD相交与于O,图中有几对对顶角？邻补角?当一个角确定了,另外三个角的大小确定了吗?2.直线AB、CD、EF相交与于O,图中有几对对顶角？AOC的对顶角是_COF的对顶角是_AOC的邻补角是_EOD的邻补角是_3.对顶角、邻补角的性质:,O,A,B,C,D,1,2,3,4,BOD,DOE,COB,AOD,DOF,COE,对顶角相等,邻补角互补,你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?,A,D,C,B,E,F,理由:垂线段最短,拓展应用,如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。,C,理由:垂线段最短,在平面内,两条直线有几种位置关系?什么叫平行线？怎样表示？怎样读？平行公理及其推论的内容是什么？有哪些方法画平行线？两直线被第三直线所截，构成的八个角中同位角有对，内错角有对，同旁内角有对.平行线的判定方法有哪些？平行线有哪些性质？什么是平行线间的距离？,平行,4,.如图,若3=4，则；,AD,1,若ABCD,则=。,BC,2,.如图，D=70，C=110,1=69，则B=,69,3.如图，已知ABCD，补充什么条件，能得AD/BC？,综合练习,6.已知,如图ABEFCD,ADBC,BD平分ABC,则图中与EOD相等的角有()个.,A.2,B.3,C.4,D.5,D,7.如图，填空(1)B=1（已知）_/_（）(2)CG/DF（已知）2=（）(3)3=A（已知）_/_（）(4)AG/DF（已知）3=_（）,(5)B+4=180（已知）_/_（）(6)CG/DF（已知）F+=180（）,9、如图，已知AEMDGN，则你能说明AB平行于CD吗？,变式1：若AEMDGN，EF、GH分别平分AEG和CGN，则图中还有平行线吗？,变式2：若AEMDGN，12，则图中还有平行线吗？,练习:,如图,已知ABCD,1=30,2=90,则3=_,如图,若AECD,EBF=135，BFD=60,D=（）A、75B、45C、30D、15,图1,图2,1、如图，已知ABCD，ABF=DCE.试说明：BFE=FEC.,思考题,2.如图，以下是某位同学作业中的一段说理：如果1=2，那么根据同位角相等，两直线平行，可得ab；如果2+3=180，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得cd。你认为他说得对吗？,_,_,_,若OEAB,1=56,则3=_。,3.若BOC=21，则1=_，BOC=_。,34,60,120,4.（算算看）已知如图，OBOA，直线CD过O，BOD=110，求AOC的度数？,5.点到直线的距离是_点到直线上一点的连线点到直线的垂线C.点到直线的垂线段D.点到直线的垂线段的长度,6.如图，EFAD,1=2,BAC=70.将求AGD的过程填写完整.因为EFAD,所以2=_(_)又因为1=2所以1=3(_)所以AB_(_)所以BAC+_=180(_),因为BAC=70所以AGD=_,在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换,简称平移平移特征:平移不改变物体的形状和大小；平移只改变物体的位置图形上对应点的连线平行且相等对应角相等图形上每个点都向同一个方向移动了相同的距离.,平移,1、观察右图并填空：(1)1与是同位角;(2)5与是同旁内角;(3)