2016年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1设 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 2复数 的虚部为（ ） A B C D 3已知向量 ， 满足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4（ x 2y） 6 的展开式中， 系数为（ ） A 15 B 15 C 60 D 60 5 A（ ， 1）为抛物线 p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ） A B + C 2 D +1 6执行如图的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 7若 x， y 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A B 1 C 2 D 3 8 等比数列 前 n 项和，满足 al=l， =4，则 公比为（ ） A 3 B 2 C 2 或 3 D 2 或 2 9己知 A（ 0）， B（ 1）在函 数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象上， |最小值 ，则 =（ ） A B C l D 第 2 页（共 18 页） 10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（ ） A 8 B C 9 D 11 F 为双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的右焦点，若 上存在一点 P 使得 等边三角形（ O 为坐标原点），则 的离心率 e 为（ ） A B C D 2 12数列 通项公式为 ，关于 如下命题： 先减后增数列； 递减数列； n N*， e； n N*， e 其中正确命题的序号为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13在等差数列 ， 2，且 al+5，则公差 d 的值是 _ 14 1000 名 考生的某次成绩近似服从正态分布 N，则成绩在 630 分以上的考生人数约为_（注：正态总体 N（ ， 2）在区间（ ， +），（ 2， +），（ 3， +3）内取值的概率分别为 15已知 f（ x）为奇函数，函数 g（ x）与 f（ x）的图象关于直线 y=x+1 对称若 g（ 1） =4则f（ 3） =_ 16一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条，所成角为 60的直线 共有 _对 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在如图所示的四边形 ， 0， 20， 0， ，记 （ ）求用含 的代数式表示 （ ）求 积 S 的最小值 第 3 页（共 18 页） 18如图，直四棱柱 棱长均为 2， 0， M 为 中 点， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 19某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满 200 元减 50 元： 方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、 1 个白球的甲箱，装有2 个红球、 2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、 3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7 折 8 折 原价 （ ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （ ）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 20在 ， A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若 重心 G 和垂心 H 满足 行于x 轴（ G H 不重合）， （ I）求动点 C 的轨迹 的方程； （ 知 O 为坐标原点，若直线 以 O 为圆心，以 |半径的圆相切，求此时直线 方程 21函数 f（ x） =2x （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）已知 x （ 0， 1）， x） a 的取值范围 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 相切于点 B， 圆 O 上两点，延长 圆 O 于点 E， D 于点 F （ I）证明： （ ）若 圆 O 的直径， ，求 D 第 4 页（共 18 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系半圆 C（圆心为点 C）的极坐标方程为 =2 （ ， ） （ ）求半圆 C 的参数方程； （ ）直线 l 与两坐标轴的交点分别为 A， B，其中 A（ 0， 2），点 D 在半圆 C 上，且直线 倾斜角是直线 l 倾斜角的 2 倍，若 面积为 4，求点 D 的直角坐标 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+1| a|x l| （ ）当 a= 2 时，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 第 5 页（共 18 页） 2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1设 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【 分析】 由题意可知：集合 B 中至少含有元素 1， 2，即可得出 【解答】 解： A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 为： 1，2， 1， 2， 3， 1， 2， 4， 1， 2， 3， 4 故选： B 2复数 的虚部为（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，则答案可求 【解答】 解：由 = ， 则复数 的虚部为： 故选： A 3已知向量 ， 满足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 ，代入向量的夹角公式即可 【解答】 解： （ ） = = = 1 = = 故选 D 4（ x 2y） 6 的展开式中， 系数为（ ） A 15 B 15 C 60 D 60 第 6 页（共 18 页） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中 可求出对应的系数 【解答】 解：（ x 2y） 6 展开式的通项公式为 = r（ 2y） r， 令 r=2，得 2y） 2=60 所以 系数 为 60 故选： C 5 A（ ， 1）为抛物线 p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ） A B + C 2 D +1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 把 A 代入抛物线方程解出 p，得到抛物线的准线方程，则 A 到焦点的距离等于 【解答】 解：把 A（ ， 1）代入抛物线方程得： 2=2p， p=1 抛物线的焦点为 F（ 0， ） 抛物线的准线方程为 y= A 到准线的距离为 1+ = 故选： A 6执行如图的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 【考点】 程序框图 【分析】 首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 i=1， S=0 满足条件 i 4， S= =i=2 满足条件 i 4， S=i=3 满足条件 i 4， S=i=4 不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为： 故选： A 7若 x， y 满足不等式组 ，则 的最大值 是（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，而 的几何意义是阴影内的点（ x， y）与原点的连线的斜率，从而求得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 的几何意义是阴影内的点（ x， y）与原点的连线的斜率， 结合图象可知， 过点 A（ 1， 2）时有 最大值， 此时 = =2， 故选： C 8 等比数列 前 n 项和，满足 al=l， =4，则 公比为（ ） A 3 B 2 C 2 或 3 D 2 或 2 第 8 页（共 18 页） 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的前 n 项和公式得到 ，由此能求出 公比 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和，满足 al=l， =4， ， =4，即 =7， q2+q 6=0， 解得 q=2 或 q= 3 故选： C 9己知 A（ 0）， B（ 1）在函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象上， |最小值 ，则 =（ ） A B C l D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据题意得出函数 f（ x）的周期是 T=12 ，进而可得答案 【解答】 解： A（ 0）， B（ 1）在函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象上， 且 |最小值为 ， 故 = ， 解得： T=3， 又 0， 故 = = ， 故选： D 10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（ ） A 8 B C 9 D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 9 页（共 18 页） 【分析】 几何体为两个尖头圆柱 的组合体它们可以组合成高为 8 的圆柱 【解答】 解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为 8 的圆柱， 圆柱的底面半径为 1， 所以几何体的体积为 12 8=8 故选 A 11 F 为双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的右焦点，若 上存在一点 P 使得 等边三角形（ O 为坐标原点），则 的离心率 e 为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先确定等边三角形的边长和点 P 横坐标，求出点 P 到右准线的距离 d，利用双曲线定义解出离心率 e 【解答】 解：不妨设 F 为右焦点， O 为坐标原点）为等边三角形， 故点 P 横坐标为 ， 点 P 到右准线的距离 d= = ， 长为 c， e= = e 1， e= +1， 故选： C 12数列 通项公式为 ，关于 如下命题： 先减后增数列； 递减数列； n N*， e； n N*， e 其中正确命题的序号为（ ） A B C D 【考点】 数列的函数特性 【分析】 数列 通项公式为 ，可得此数列为单调递减有下界 e 数列，即可得出 【解答】 解：数列 通项公式为 ， 0， = ， 可得： 关于 如下命题： 第 10 页（共 18 页） 先减后增数列，不正确； 递减数列，正确； 由于 an=e， n N*， e，正确； n N*， e，不正确 故正确答案为： 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13在等差数列 ， 2，且 al+5，则公差 d 的值是 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：在等差数列 ， 2，且 al+5， d= 2， 10d=65， 解得 d= 故答案为： 14 1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N，则成绩在 630 分以上的考生人数约为23（注：正态总体 N（ ， 2）在区间（ ， +），（ 2， +），（ 3， +3）内取值的概率分别为 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据正态分布，求出 =530， =50，在区间的概率为 此可求成绩在 630分以上的考生人数 【解答】 解：由题意， =530， =50，在区间的概率为 成绩在 630 分以上的概率为 = 成绩在 120 分以上的考生人数约为 1000 3 故答案为： 23 15已知 f（ x）为奇函数，函数 g（ x）与 f（ x）的图象关于直线 y=x+1 对称若 g（ 1） =4则f（ 3） = 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 求出（ 1， 4）关于直线 y=x+1 的对称点，代入 f（ x），利用 f（ x）的奇偶性得出 【解答】 解：设 A（ 1， 4）， A 关于直线 y=x+1 的对称点为 A（ a， b）则 ，解得 第 11 页（共 18 页） 函数 g（ x）与 f（ x）的图象关于直线 y=x+1 对称， g（ 1） =4， f（ 3） =2， f（ x）为奇函数， f（ 3） = 2 故答案为 2 16一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条，所成角为 60的直线共有 48 对 【考点】 计数原理的应用 【分析】 作出图形，即可得出结论 【解答】 解：如图所示，由题意， 成角为60，共 8 对， 每条棱有八对， 12 条棱共有： 12 乘以 8 再除以 2=48 对， 故答案为： 48 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在如图所示的四边形 ， 0， 20， 0， ，记 （ ）求用含 的代数式表示 （ ）求 积 S 的最小值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）在 ，使用正弦定理解出 （ ，使用正弦定理解出 入三角形的面积公式计算 【解答】 解：（ ）在 ， 60 90 120 =150 ， 由正弦定理可得 = ，即 = ， 于是： （ ）在 ，由正弦定理得 = ，即 ， 由（ ）知： ， 第 12 页（共 18 页） S= = = 故 =75时， S 取得最小值 6 3 18如图，直四棱柱 棱长均为 2， 0， M 为 中点， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）计算 据勾股定理的逆定理得出 M 是 平面 （ 2）连结 点 O，连接 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面 法向量 ，则 |， |即为所求 【解答】 证明：（ ）连接 直四棱 柱所有棱长均为 2， 0， M 为 中点， ， M=1， ， 11， ， 11， 1 同理： 又 M=M， 面 平面 平面 （ ）连结 点 O，连接 以 O 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 O 则 A（ ， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， 0， 1， 2）， M（ 0， 1， 1）， =（ ， 1， 2）， =（ ， 1， 0）， =（ 0， 2， 1）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 则 ， 令 x=1，得 =（ 1， ， 2 ） ， =4 ， | |=4， | |=2 ， 第 13 页（共 18 页） ， = = ， 平面 成角的正弦值为 19某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满 200 元减 50 元： 方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、 1 个白球的甲箱，装有2 个红球、 2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、 3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7 折 8 折 原价 （ ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （ ）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 【分析】 （ ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 （ ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算 【解答】 解：（ ）记顾客获得半价优惠为事件 A，则 P（ A） = = ， 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率： P=1 P（ ） P（ ） =1（ 1 ） 2= （ ）若选择方案一，则付款金额为 320 50=270 元 若选择方案二，记付款金额为 X 元， 则 X 可取 160， 224， 256， 320 P（ X=160） = ， P（ X=224） = = ， P（ X=256） = = ， P（ X=320） = = ， 则 E（ X） =160 +224 +256 +320 =240 270 240， 第二种方案比较划算 第 14 页（共 18 页） 20在 ， A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若 重心 G 和垂心 H 满足 行于x 轴（ G H 不重合）， （ I）求动点 C 的轨迹 的方程； （ 知 O 为坐标原点，若直线 以 O 为圆心，以 |半径的圆相切，求此时直线 方程 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ ）由题意可设 C（ x， y），则 G（ ）， H（ x， ），求出 ， 的坐标，再由 =0 整理得答案； （ ）设方程 y=k（ x+1）， C（ 联立直线方程和椭圆方程，求出 H 的坐标，由点到直线的距离公式求得原点 O 到直线 距离，结合题意得到关于 k 的等式，求出 C 的方程 【解答】 解：（ ）由题意可设 C（ x， y），则 G（ ）， H（ x， ） =（ x 1， ）， =（ x+1， y）， H 为垂心， =1+ =0，整理可得 =1， 即动点 C 的轨迹 的方程为 =1（ xy 0）； （ ）显然直线 斜率存在，设方程 y=k（ x+1）， C（ 将 y=k（ x+1）代入 =1 得（ 3+3=0， 解得 ， ，则 H（ ， ） 原点 O 到直线 距离 d= ， 依题意可得 ， 即 79=0，解得 ，即 k=1 或 1， 故所求直线 方程为 y=x+1 或 y= x 1 21函数 f（ x） =2x （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）已知 x （ 0， 1）， x） a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值； （ 2）求出 f（ x）在（ 0， 1）为正， a 0 时，符合题意， a 0 时，通过 讨论 0 a 1，a 1 时的情况，结合函数的单调性求出 a 的具体范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2x ， f（ x） =2 令 f（ x） 0，解得： x f（ x） 0，解得： x f（ x）在（ ， 增，在（ +）递减， f（ x）的最大值是 f（ =21； （ 2） x （ 0， 1）时， f（ x）在（ 0， 增，在（ 1）递减， 且 f（ 0） =0， f（ 1） =3 e 0， f（ x） 0， 0， a 0 时， x） 0 a 0 时，令 g（ x） =x）， 则 g（ x） = +a（ 2）， g（ x）在（ 0， 1）递增且 g（ 0） =1 a， 0 a 1 时， g（ 0） 0， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 1）递增，又 g（ 0） =0， 此时 g（ x） 0，即 x） 立， a 1 时， g（ 0） 0， g（ 1） 0， （ 0， 1），使得 g（ =0， 即 x （ 0， ， g（ x） 0， g（ x）递减， 又 g（ 0） =0， g（ x） 0 与 x） 盾， 综上： a 1 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 相切于点 B， 圆 O 上两点，延长 圆 O 于点 E， D 于点 F （ I）证明： （ ）若 圆 O 的直径， ，求 D 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的判定 【分析】 （ ）根据 有 根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出 样即可得出： 似； （ ）根据条件便可得出 由上面即可得出 样即可得出 等腰直角三角形，从而可求出 ，根据射影定理即可求出 D 的值 【解答】 解： （ ）证明： 第 16 页（共 18 页） 又 又 （ ）因为 以 由（ ）得 以 又因为 圆 O 的直径， 所以 等腰直角三角形， ， 因为 圆 O 相切于 B，所以 D= 选修 4标系与