2016年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|1 x 4，集合 B=x|2x 3 0，则 A（ =（ ） A（ 1， 4） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 2在数列 ， ， ， 前 n 项和，则 ） A 30 B 35 C 45 D 50 3已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测 得如下一组数据： x 6 5 10 12 y 6 5 3 2 则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为（ ） A = = = =已知双曲线 的离心率为 2，则其一条渐近线方程为（ ） A x 3y=0 B x y=0 C x y=0 D 3x y=0 5在 M 是 中点， ， ， =（ ） A 7 B C 0 D 7 6已知函数 f（ x）为奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+l） +m，则 f（ 1 ）的值为（ ） A B 2 ） C D 2 ） 7在如图程序框图中，输入 n=l，按程序运行后输出的结果为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8已知 x， y 满足约束条件 ，（其中 a 0），若 z=x+y 的最大值为 1，则 a=（ ） 第 2 页（共 20 页） A l. B 3 C 4 D 5 9函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ，且其图象经过点（ ，0），则函数 f（ x）在区间 0， 上的最大值与最小值的和为（ ） A 1 B 0 C D 1+ 10已知直线 方程为 x y 3=0， 抛物线 x2=a 0）的准线，抛物线上一动点P 到 离之和的最小值为 2 ，则实数 a 的值为（ ） A l B 2 C 4 D 28 11如图，网格纸上的小正方形的边长为 l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 12 B 24 C 36 D 48 12已知函数 f（ x） =a 不存在最值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， C 1， +） D ， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若复数 z 满足（ 1+2i） z=5，则复数 z 的共轭复数 z=_ 14如图，已知三棱柱 ，点 D 是 中点，平面 此棱柱成两部分，多面体 多面体 积的比值为 _ 15已知函数 f（ x） = 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 _ 16已知数列 足 a1=，且 =（ 1+ 1） +2（ n N*）， 数列 前 n 项和，则 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， c=5 且 b（ 2+（ 2a+b） （ 1）求 C 的值； 第 3 页（共 20 页） （ 2）若 ，求 b 的值 18作为市政府为民办实事之一的公 共自行车建设工作已经基本完成了，相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于 则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的 100 名市民，并根据这 100 名市民对该项目满意程度的评分（满分 100 分），绘制了如图频率分布直方图： （ 1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人评分恰好都在 50， 60）的概率； （ 2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否 通过验收，并说明理由 （注：满意指数 = ） 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， ， 等边三角形 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求点 D 到平面 距离 20在椭圆 E： 上任取一点 P，过 P 作 D， 点 M 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）过点 0， 1）作直线交椭圆 E 于 曲线 C 于 |大时，求 | 21已知函数 f（ x） =x a R） （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）设 g（ x） =f（ x） +2 g（ x）有两个极值点 中 （ 0， e，求 g（ g（ 最小值 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图，点 A 在 O 上，过点 O 的割线 O 于点 B， C，且 ， ， ， 平分线分别交 D， E 第 4 页（共 20 页） （ 1）证明： （ 2）证明： E=E 选修 4标系与参数选讲 23已知曲线 C 的极坐标方程是 4以极点为原 点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（ 1， 0），倾斜角为 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，求 | 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式 f（ x） +f（ x+1） 5； （ 2）若 |a| 1 且 ，证明： |b| 2 第 5 页（共 20 页） 2016 年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科 ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|1 x 4，集合 B=x|2x 3 0，则 A（ =（ ） A（ 1， 4） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由题意，可先解一元二次不等式，化简集合 B，再求出 B 的补集，再由交的运算规则解出 A（ 可得出正确选项 【解答】 解：由题意 B=x|2x 3 0=x| 1 x 3，故 x|x 1 或 x 3， 又集合 A=x|1 x 4， A（ =（ 3， 4） 故选 B 2在数列 ， ， ， 前 n 项和，则 ） A 30 B 35 C 45 D 50 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知等式可得由数列为公差是 3 的等差数列，再求出首项，代入等差数列的前 【解答】 解：在数列 ，由 ，可得数列 公差为 3 的等差数列， 由 ，得 a1=d=4 3=1， 故选： B 3已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据： x 6 5 10 12 y 6 5 3 2 则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为（ ） A = = = =考点】 线性回归方程 【分析】 根据表中数据，计算 、 ，再根据变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，验证回归直线方程是否过过样本中心点（ ， ）即可 【解答】 解：根据表中数据，得； = （ 6+5+10+12） = ， = （ 6+5+3+2） =4， 且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关， 第 6 页（共 20 页） 所以，验证 = 时， = +4， 即回归直线 = 样本中心点（ ， ） 故选： B 4已知双曲线 的离心率为 2，则其一条渐近线方程为（ ） A x 3y=0 B x y=0 C x y=0 D 3x y=0 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用双曲线的离心率公式和 a， b， c 的关系，解方程可得 a=1，即可得到所求渐近线方程 【解答】 解：双曲线 的离心率为 2， 可得 e= = =2， 解得 a=1， 由 b= ，可得双曲线的渐近线方程为 y= x 故选： B 5在 M 是 中点， ， ， =（ ） A 7 B C 0 D 7 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据勾股定理求出 用余弦定理解 出 入数量积的定义式计算 【解答】 解： M 是 点， M= =4， ， C=5 在 ， = = 7 故选： A 6已知函数 f（ x）为奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+l） +m，则 f（ 1 ）的值为（ ） A B 2 ） C D 2 ） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的性质，利用 f（ 0） =0，先求出 m，然后代入即可 第 7 页（共 20 页） 【解答】 解：函数 f（ x）为奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+l） +m， f（ 0） =m=0，则 m=0， 则 f（ 1 ） = f（ 1） = 1+l） = ， 故选 ： A 7在如图程序框图中，输入 n=l，按程序运行后输出的结果为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序输出的数值是什么 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； i=0， n=1， 1 是奇数， n=3 1+1=4； i=0+1=1， 4 1， 4 不是奇数， n=2； i=1+1=2， 2 1， 2 不是奇数， n=1； i=2+1=3， 1=1，输出 i 的值为 3 故选： C 8已 知 x， y 满足约束条件 ，（其中 a 0），若 z=x+y 的最大值为 1，则 a=（ ） A l. B 3 C 4 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点 A 的坐标，通过图象得出 =1，解出即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 第 8 页（共 20 页） ， 由 ，解得： A（ ， ）， 由 z=x+y 得： y= x+z，显然直线过 A 时， z 最大， 此时， z= =1，解得： a=5， 故选： D 9函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期 为 ，且其图象经过点（ ，0），则函数 f（ x）在区间 0， 上的最大值与最小值的和为（ ） A 1 B 0 C D 1+ 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得 f（ x）的最大值和最小值，可得函数 f（ x）在区间 0， 上的最大值与最小值的和 【解答】 解：函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ， 可得 =，求得 =2， f（ x） =2x+） 再根据其图象经过点（ ， 0），可得 +） =0， = ， f（ x） =2x ） 则函数 f（ x）在区间 0， 上， 2x ， ， 当 2x = 时，函数 f（ x）的最小值为 ；当 2x = 时，函数 f（ x）的最大值为 1， 的最大值与最小值的和为 +1= ， 故选： C 第 9 页（共 20 页） 10已知直线 方程为 x y 3=0， 抛物线 x2=a 0）的准线，抛物线上一动点P 到 离之和的最小值为 2 ，则实数 a 的值为（ ） A l B 2 C 4 D 28 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点 F（ 0， ）到直线 x y 3=0的距离 【解答】 解：由题意，利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点 F（ 0， ）到直线x y 3=0 的距离， 距离之和的最小值 d= =2 ， a=4 故选： C 11如图，网格纸上的小正方形的边长为 l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 12 B 24 C 36 D 48 【考点】 球的体积和表面积；简 单空间图形的三视图 【分析】 判断几何体的特征，长方体中的三棱锥，利用长方体的体对角线得出外接球的半径求解即可 【解答】 解：三棱锥 A 面为；直角三角形， 镶嵌在长方体中， ， ， ， 三棱锥与长方体的外接球是同一球，半径为 R= = ， 第 10 页（共 20 页） 该球的表面积为 4 6=24， 故选： B 12已知函数 f（ x） =a 不存在最值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， C 1， +） D ， +） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 问题等价于函数 y= y=21 的图象最多 1 个交点，当 y= y=21 相切时，设切点是（ 求出 a 的临界值即可 【解答】 解：由题意， f（ x） = 2 f（ x） =0，得 1， 函数 f（ x）不存在最值，等价于 f（ x） =2 最多 1 个零点， 等价于函数 y= y=21 的图象最多 1 个交点， 当 y= y=21 相切时，设切点是（ ，解得： a= ， 故当 a= 时，直线 y=21 与 y=图象相切， 故 a 时， y= y=21 的图象最多 1 个交点 则实数 a 的取值范围是 ， +） 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若复数 z 满足（ 1+2i） z=5，则复数 z 的共轭复数 z=1+2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：由（ 1+2i） z=5，得 ， 故答案为： 1+2i 14如图，已知三棱柱 ，点 D 是 中点，平面 此棱柱成两部分，多面体 多面体 积的比值为 1： 5 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 设出棱柱的底面积和高，由 D 为 中点求出三角形 面积，由棱锥体积公式求得多面体 体积，作差得到多面体 积，作比得答案 【解答】 解：如图，设三棱柱 底面 面积为 S，高为 h， 则三棱柱的体积 V= D 为 中点， ， 三棱锥 高为 h， ， 则多面体 体积 ， 则多面体 多面体 积的比值为 故答案为： 1： 5 15已知函数 f（ x） = 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 0， ） 【考点】 函数的值域；分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可 【解答】 解：当 x 1 时， f（ x） =2x 1 1， 当 x 1 时， f（ x） =（ 1 2a） x+3a， 第 12 页（共 20 页） 函数 f（ x） = 的值域为 R， （ 1 2a） x+3a 必须到 ， 即满足： ，解得 0 a ， 故答案为： 0， ） 16已知数列 足 a1=，且 =（ 1+ 1） +2（ n N*）， 数列 前 n 项和，则 n+1+2n 2 【考点】 数列的求和 【分析】 根据条件讨论 n 的奇偶性，分别化简递推公式并判断出数列的特征，由等比数列的通项公式求 通项公式 据等差数列和等比数列的前 n 项和公式，可求数列的前 2n 项的和 【解答】 解：（ 1）当 n 是奇数时， 1， 由 =（ 1+ 1） +2（ n N*）得， =2， 所以 ， 1， 是各项为 2 的常数列， 当 n 为偶数时， ，同理可得 =2 所以 ， 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， 则 ， 所以 a1+a3+1） +（ a2+a4+ =2n+ =2n+1+2n 2， 故答案为： 2n+1+2n 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， c=5 且 b（ 2+（ 2a+b） （ 1）求 C 的值； （ 2）若 ，求 b 的值 【考点】 余弦定理；两角和与差的 正弦函数；正弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理化简已知等式可得（ 2b+a） b+（ 2a+b） a=2简可得： a2+ 用余弦定理可求 ，结合范围 C （ 0， ），即可求得 C 的值 （ 2）由已知，利用同角三角函数基本关系式可求 用两角和的正弦函数公式即可求得 A+C）的值，由正弦定理即可计算求得 b= 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 第 13 页（共 20 页） 解：（ 1） b（ 2+（ 2a+b） （ 2b+a） b+（ 2a+b） a=22 分 化简可得： a2+ = ， 4 分 C （ 0， ）， C= 6 分 （ 2） ， A （ 0， ）， ， A+C） = ， 10 分 由正弦定理可得： b= = =4 12 分 18作为市政府为民办实事之一的公共自行车建设工作已经基本完成了， 相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于 则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的 100 名市民，并根据这 100 名市民对该项目满意程度的评分（满分 100 分），绘制了如图频率分布直方图： （ 1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人评分恰好都在 50， 60）的概率； （ 2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由 （注：满 意指数 = ） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图得评分在 40， 50）， 50， 60）的市民分别有 2 个和 3 个，由此能求出该部门从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人进行座谈，这 2 人评分恰好都在50， 60）的概率 （ 2）求出样本满意程度的平均得分 而求出市民满意指数，由此能求出结果 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图得评分在 40， 50）， 50， 60）的频率分别为 第 14 页（共 20 页） 评分在 40， 50）， 50， 60）的市民分别有 2 个和 3 个， 该部门从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人进行座谈， 基本事件总数 n= =10， 这 2 人评分恰好都在 50， 60）包含的基本事件个数 m= =3， 这 2 人评分恰好都在 50， 60）的概率 p= （ 2）样本满意程度的平均得 分为： 45 5 5 5 5 5 估计市民满意程度的平均分为 市民满意指数为： ， 该项目能通过验收 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， ， 等边三角形 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 点 D 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）取 点 O，连结 已知可得 O=O，即可证 平面 而可得 （ 2）先证明 得 平面 用等体积，求出点 D 到平面 距离 【解答】 （ 1）证明：取 点 O，连结 侧面 等边三角形，底面 菱形且 又 O=O， 平面 （ 2）解：由题意，可得 P= ， ， D=O， 平面 P =1， 第 15 页（共 20 页） S = ， 设点 D 到平面 距离为 h，则 ， h= 20在椭圆 E： 上任取一点 P，过 P 作 D， 点 M 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲 线 C 的方程； （ 2）过点 0， 1）作直线交椭圆 E 于 曲线 C 于 |大时，求 | 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设 M（ x， y）， P（ 则 D（ 0），求得向量 坐标，由向量共线的坐标表示，结合 P 在椭圆上，代入化简即可得到所求曲线的方程； （ 2）讨论当直线的斜率不存在时，可得 |2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=， A（ B（ 代入椭圆方程可得（ 1+4，（ k 0），求得点 用两点的距离公式和基本不等式求得最大值，再由圆内的垂径定理，化简整理即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）设 M（ x， y）， P（ 则 D（ 0）， =（ x y）， =（ 0， 由 ，可得 x ，且 y=2 即为 x0=x， y， 由 P 在椭圆上，可得 +（ ） 2=1， 即有曲线 C 的方程为 x2+； （ 2）当直线的斜率不存在时，可得 |2； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y=， A（ B（ 代入椭圆方程可得（ 1+4，（ k 0）， 解得 ， ，即有 0， 1）， ， ）， | = = ， 第 16 页（共 20 页） 当且仅当 3+即 k= 时， |得最大值 ； 由 2，可得 k= 当 k= 时，直线 方程为 y= x+1，即 x 2y+2=0， 圆心 O 到直线 距离为 d= ， 由垂径定理可得，（ ） 2= = ， 即 | 21已知函数 f（ x） =x a R） （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）设 g（ x） =f（ x） +2 g（ x）有两个极值点 中 （ 0， e，求 g（ g（ 最小值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求函数的定义域和导数，讨论 a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可 （ 2）求出函数 g（ x）的表达式，求出函数 g（ x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） =1+ = ， 当 a 0 时， f（ x） 0 恒成立，此时函数 f（ x）在（ 0， +）上是增函数， 当 a 0 时，由 f（ x） =0，得 =0， 1）当判别式 =4 0 时，即 0 a 2 时， f（ x） 0 恒成立，此时函数在（ 0， +）上是增函数， 2）当 =4 0 时，即 a 0 时，方程 =0 的两个根 ， 当 x （ 0， ）时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）为增函数， 当 x （ ， ）时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）为减函数， 第 17 页（共 20 页） 当 x （ ， +）时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）为增函数， 综上当 a 2 时， f（ x）的递 增区间为（ 0， +），无递减区间 当 a 2 时，函数的递增区间为（ 0， ）， （ ， +），单调递减区间为（ ， ） （ 2）由于 g（ x） =f（ x） +2x +定义域为（ 0， +）， 求导得， g（ x） =1+ + = ， 若 g（ x） =0 两根分别为 有 x1， x1+ a， ，从而有 a= ， 则 g（ g（ =g（ g（ ） =+ x1+ =2（ ）+2（ ） 2（ ） 令 h（ x） =2（ x ） 2（ x+ ） x （ 0， e， 则 g（ g（ h（ x） h（ x） =2（ 1+ ） 2（ 1 ） x+ ） = ， 当 x （ 0， 1时， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， 1上单调递减， x （ 1， e时， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， e上单调递减， 则 h（ x） h（ e） = ， g（ g（ 最小值为 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图，点 A 在 O 上，过点 O 的割线 O 于点 B， C，且 ， ， ， 平分线分别交 D， E （ 1）证明： （ 2）证明： E=E 第 18 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比