2016年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x| 1 x 1， B=x|0 x 3，则 AB=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 3 D x|1 x 3 2在复平面内，复数 z= 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 2016 年 3 月 “两会 ”期间，有代表提出适当下调 “五险一金 ”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取 20 名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为 350，500， 150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A 5 B 6 C 7 D 10 4下列函数中，最小正周期为 且图象关于 y 轴对称的函数是（ ） A B y=|C D y= 执行如图所示的程序框图，若输入 x 的值为 5，则输出 y 的值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 6已知函数 f（ x） =2， g（ x） =x|（其中 a 0 且 a 1），若 f（ 5） g（ 3） 0，则 f（ x）， g（ x）在同一坐标系内的大致图象是（ ） 第 2 页（共 19 页） A B CD 7已知直线 2x+y 10=0 过双曲线 的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 8设 ，则对任意实数 a， b， “a+b 0”是 “f（ a） +f（ b） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9设实数 x， y 满足约束条件 ，已知 z=2x+y 的最大值是 7，最小值是 26，则实数 a 的值为（ ） A 6 B 6 C 1 D 1 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F，它的准线与对称轴的交点为 H，过点 H 的直线与抛物线 C 交于 A、 B 两点，过点 A 作直线 抛物线 C 交于另一点 点 A、 B、 圆的圆心坐标为（ a， b），半径为 r，则下列各式成立的是（ ） A a2= B a=r C a2= D a2= 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11计算： =_ 12已知等腰三角形 底边 长为 4，则 =_ 13已知 ， ， ， ，则=_ 14某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 _ 第 3 页（共 19 页） 15若存在实 数 正实数 x，使得函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ +4 x，则称函数 f（ x）为 “可翻倍函数 ”，则下列四个函数 ； f（ x） =2x， x 0， 3； f（ x） =4 f（ x） = 其中为 “可翻倍函数 ”的有 _（填出所有正确结论的番号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内 . 16已知等比数列 各 项均为正数，且 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 的前 n 项和 17某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币 4 次为一局，每次掷到正面时赋值为 1，掷到反面时赋值为 0，将每一局所掷 4 次赋值的结果用（ a， b， c， d）表示，其中 a， b， c，d 分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中 “正面次数多于反面次数时获奖 ” （ ）写出每局所有可能的赋值结果； （ ）求每局获奖的概率； （ ）求每局结果满足条件 “a+b+c+d 2”的概率 18在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若（ a+b c）（ a b+c） = （ ）求 A 的值； （ ）已知向量 = ， =（ b， 2），若 与 共线，求 19如图，在四棱锥 O ，底面 边长为 2 的正方形，侧棱 底面 侧棱 长是 2，点 E， F， G 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 G 体积 第 4 页（共 19 页） 20已知椭圆 ： 的离心率等于 ，椭圆 上的点到它的中心的距离的最小值为 2 （ ）求椭圆 的方程； （ ）过点 E（ 0， 4）作关于 y 轴对称的两条直线分别与椭圆 相交， y 轴左边的交点由上到下依次为 A， B， y 轴右边的交点由上到下依次为 C， D，求证：直线 定点，并求出定点坐标 21已知函数 f（ x） =x 2（其中 e 为自然对数的底数） （ ）若曲线 y=f（ x）过点 P（ 0， 1），求曲线 f（ x）在点 P（ 0， 1）处的切线方程； （ ）若 f（ x） 0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围； （ ）若 f（ x）的两个零点为 的值域 第 5 页（共 19 页） 2016 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x| 1 x 1， B=x|0 x 3，则 AB=（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 1 C x| 1 x 3 D x|1 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x| 1 x 1， B=x|0 x 3， AB=x|0 x 1， 故选： A 2在复平面内，复数 z= 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 化简复数为 a+形式，即可判断对应点所在象限 【解答】 解：复数 z= = （ 1 i） i= i， 复数对应点为（ ， ）在第四象限 故选： D 3 2016 年 3 月 “两会 ”期间，有代表提出适当下调 “五险一金 ”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取 20 名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为 350，500， 150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A 5 B 6 C 7 D 10 【考点】 分层抽样方法 【分析】 先计算青年职工所占的比例，再根据样本容量即可计算中青年职工抽取的人数 【解答】 解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 350： 500： 150=7： 10： 3， 根据分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数 =7， 故选： C 4下列函数中，最小正周期为 且图象关于 y 轴对称的函数是（ ） A B y=|C D y=考点】 正弦函数的图象；余弦函数的图象 【分析】 先化简函数的解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：由于 y=2x+ ） = 奇函数，它的图象的关于原点对称，故排除A； 由于 y=|最小正周期为 ，且它是偶函数，图象关于 y 轴对称，故满足条件； 由于 y= = = 非奇非偶函数，它的图象不关于 y 轴对称，故排除 C； 由于 y=2x+ ）为非奇非偶函数，它的图象不关于 y 轴对称，故排除D， 故选： B 5执行如图所示的程序框图，若输入 x 的值为 5，则输出 y 的值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 x= 5 时，满足进行循环的条件，故 x=8， 当 x=8 时，满足进行循环的条件，故 x=5， 当 x=5 时，满足进行 循环的条件，故 x=2， 当 x=2 时，不满足进行循环的条件， 故 y= = 1， 故选： A 6已知函数 f（ x） =2， g（ x） =x|（其中 a 0 且 a 1），若 f（ 5） g（ 3） 0，则 f（ x）， g（ x）在同一坐标系内的大致图象是（ ） 第 7 页（共 19 页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 利用条件 f（ 5） g（ 3） 0，确定 a 的大小，从而确定函数的单调性 【解答】 解：由题意 f（ x） =2 是指数型的， g（ x） =x|是对数型的且是一个偶函数， 由 f（ 5） g（ 3） 0，可得出 g（ 3） 0，则 g（ 3） 0 因为 a 0 且 a 1，所以必有 0，解得 a 1 所以函数 f（ x） =2，在定义域上为增函数且过点（ 2， 1）， g（ x） =x|在 x 0 时，为增函数，在 x 0 时为减函数 所以对 应的图象为 C 故选： C 7已知直线 2x+y 10=0 过双曲线 的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得直线 2x+y 10=0 与 x 轴的交点， 可得 c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 a=2b，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：直线 2x+y 10=0 经过 x 轴的交点为（ 5， 0）， 由题意可得 c=5，即 a2+5， 由双曲线的渐近线方程 y= x， 由直线 2x+y 10=0 和一条渐近线垂直，可得： = ， 解得 a=2 ， b= ， 即有双曲线的方程为 =1 故选： B 8设 ，则对任意实数 a， b， “a+b 0”是 “f（ a） +f（ b） 0”的（ ） 第 8 页（共 19 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条 件的判断 【分析】 先判定函数 f（ x）的奇偶性与单调性，即可得出 【解答】 解： ， x R f（ x） +f（ x） =（ x） 5+ +x5+ x2+） =0， 函数 f（ x）是 R 上的奇函数， 又函数 f（ x）在 R 上单调递增 则对任意实数 a， b， “a+b 0”a bf（ a） f（ b） = f（ b） “f（ a） +f（ b） 0” 对任意实数 a， b， “a+b 0”是 “f（ a） +f（ b） 0”的充要条件 故选： C 9设实数 x， y 满足约束条件 ，已知 z=2x+y 的最大值是 7，最小值是 26，则实数 a 的值为（ ） A 6 B 6 C 1 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得 a 值 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ）， 联立 ，解得 B（ ）， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线 y= 2x+z 分别经过 A， B 时，直线 y= 2x+z 在 y 轴上的截距有最小值和最大值， z 有最小值和最大值，则 ，解得 a=1 故选： D 第 9 页（共 19 页） 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F，它的准线与对称轴的交点为 H，过点 H 的直线与抛物线 C 交于 A、 B 两点，过点 A 作直线 抛物线 C 交于另一点 点 A、 B、 圆的圆心坐标为（ a， b），半径为 r，则下列各式成立的是（ ） A a2= B a=r C a2= D a2= 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意，取 A（ 4， 4），直线 y= （ x+1），求出 B 的坐标，进一步求出 坐标，即可得出结论 【解答】 解：由题意，取 A（ 4， 4），直线 y= （ x+1）， 代入 x，可得 417x+4=0， 可得 B（ ， 1）， 直线 方程为 y 0= （ x 1）代入 x，可得 417x+4=0， 可得 ， 1）， 中点为（ ， ），线段 垂直平分线的方程为 y = （ x ）， 令 y=0，可得 x= ， a= ， 4） 2+（ 0 4） 2= ， = = 故选： D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11计算： = 【考点】 对数的运算性质 【分析】 直接利用对数的运算法则化简求解即可 【解答】 解： =2 2+ = 故答案为： 12已知等腰三角形 底边 长为 4，则 =8 第 10 页（共 19 页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析 】 可作出图形，进行数量积的运算便可得到 ，而 ，从而便可得出 的值 【解答】 解：如图， = 故答案为： 8 13已知 ， ， ， ，则= 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由已知可求角 +， 的范围，利用同角三角函数基本关系式可求 +），），由 = +）（ ） 利用两角差的正弦函数公式即可计算得解 【解答】 解： ， ， ， ， + （ ， 2）， =（ ， ）， 可得： +） = = ， ） = ， = +）（ ） =+） ） +） ） =（ ） （ ） = 故答案为： 14某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 第 11 页（共 19 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得到几何体是三棱锥，根据三视图数据计算表面积 【解答】 解：由三视图得到几何体是三棱锥， 底面是边长为 2 的等边三角形，高为 1， 它的四个面分别是边长为 2 的等边三角形，两个直角边分别为 1， 2 的直角三角形，腰长为，底边为 2 的等腰三角形，如图： 所以其表面积为 =4+ ； 故答案为： 15若存在实数 正实数 x，使得函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ +4 x，则称函数 f（ x）为 “可翻倍函数 ”，则下列四 个函数 ； f（ x） =2x， x 0， 3； f（ x） =4 f（ x） = 其中为 “可翻倍函数 ”的有 （填出所有正确结论的番号） 【考点】 函数的值 【分析】 假设是可翻倍函数，从而可得 f（ x） = ， f（ +4 x=4 x+ ，从而化简可得 4（ + ） =1，存在即可；从而依次判断即可 【解答】 解：假设是可翻倍函数， 而 f（ x） = ， f（ +4 x=4 x+ ， 故 =4 x， 第 12 页（共 19 页） 故 =4 x， 故 4（ + ） =1， 故 ， x=3 时，成立，故 正确； 而 f（ x） =（ x） 2 2（ x）， f（ +4 x=（ 2 2 x， 故 2x+ 6 x=0， 故 =3 ， 故 x=3 + x=3+ 3， 故 不成立； 同理可得， 不正确， 正确； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内 . 16已知等比数列 各项均为正数，且 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 解：（ ）由等比数列的关系可得到 q，即可写出通项公式，（ ）根据对数函数性质， ， = ，再累计求前 n 项和 【解答】 解：（ ）设等比数列公比为为 q，因各项为正，有 q 0 由 （ n N*） （ ） bn=+a1a2= = 的前 n 项和= 第 13 页（共 19 页） 17某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币 4 次为一局，每次掷到正面时赋值为 1，掷到反面时赋值为 0，将每一局所掷 4 次赋值的结果用（ a， b， c， d）表示，其中 a， b， c，d 分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中 “正面次数多于反面次数时获奖 ” （ ）写出每局所有可能的赋值结果； （ ）求每局获奖的概率； （ ）求每局结果满足条件 “a+b+c+d 2”的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发 生的概率 【分析】 （ ）一一列举即可， （ ）设每局获奖的事件为 A，以（ ）中结果为基本事件， A 所含的基本事件有 5 个，根据概率公式计算即可， （ ）设满足条件 “a+b+c+d 2”的事件为 B，由（ ）知 B 所含的基本事件有 11 个，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）每局所有可能的赋值结果为：（ 1， 1， 1， 1），（ 1， 1， 1， 0），（ 1， 1， 0，1），（ 1， 1， 0， 0），（ 1， 0， 1， 1），（ 1， 0， 1， 0），（ 1， 0， 0， 1），（ 1， 0， 0， 0），（ 0， 1，1， 1），（ 0， 1， 1， 0），（ 0， 1， 0， 1），（ 0， 1， 0， 0），（ 0， 0， 1， 1），（ 0， 0， 1， 0），（ 0，0， 0， 1），（ 0， 0， 0， 0） （ ）设每局获奖的事件为 A，以（ ）中结果为基本事件， A 所含的基本事件有 5 个， 每局获奖的概率 P（ A） = ， （ 满足条件 “a+b+c+d 2”的事件为 B，由（ ）知 B 所含的基本事件有 11 个， P（ B） = 法 2： a+b+c+d 2所掷 4 次中至多 2 次正面向上，为（ ）中 A 的对立事件 ， 18在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若（ a+b c）（ a b+c） = （ ）求 A 的值； （ ）已知向量 = ， =（ b， 2），若 与 共线，求 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ ）整理已知等式可得 b2+a2=用余弦定理可得 ，结合范围 0 A ，即可解得 A 的值 （ ）由 m 与 n 共线可得 ，由正弦定理可得 ，结合A+C），由三角函数恒等变换的应用即可求值 【解答 】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） （ a+b c）（ a b+c） = bc= b2+a2=由余弦定理知： b2+ ， 0 A ， 第 14 页（共 19 页） （ ） m 与 n 共线 ， 由正弦定理知： ， 又 在 ， A+C）， ， 即： ， 19如图，在四棱锥 O ，底面 边长为 2 的正方形，侧棱 底面 侧棱 长是 2，点 E， F， G 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 G 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）取 中点 H，连接 据中位线定理和平行公理可知四边形 是 平面 （ 结 过勾股定理计算可知 E=D=，由三线合一得出 是 平面 （ 据中位 线定理计算 出 边长为 的正三角形，以 棱锥的底面，则 棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算 【解答】 （ ）证明：取 中点 H，连接 F， H 分别是 中点， 又 在正方形 ， E 是 中点， H， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ ）证明：连结 四边形 边长为 2 的正方形， E 是 中点， 第 15 页（共 19 页） 侧棱 底面 ， ， ， ， 等腰三角形， F 是 中点， 同理 G= ， 等腰三角形， F 是 中点， 又 G=F， 面 平面 （ ）解： 侧棱 底面 四边形 边长为 2 的正方形， ， =2 F 分别是 中点， ， ， ， ， ， 四边形 边长为 2 的正方形， E， G 是 中点， = ， 三角形 等边三角形， ， O = = 20已知 椭圆 ： 的离心率等于 ，椭圆 上的点到它的中心的距离的最小值为 2 （ ）求椭圆 的方程； （ ）过点 E（ 0， 4）作关于 y 轴对称的两条直线分别与椭圆 相交， y 轴左边的交点由上到下依次为 A， B， y 轴右边的交点由上到下依次为 C， D，求证：直线 定点，并求出定点坐标 第 16 页（共 19 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆离心率等于 ，椭圆 上的点到它的中心的距离的最小值为 2，列出方程组，求出 a，