向量组的线性相关性_第1页
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线性相关性的概念线性相关性的判定小结思考题,第二节向量组的线性相关性,定义4给定向量组A：a1,a2,am,如果存在不全为零的数k1,k2,km,使,一、线性相关性的概念,则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关,注意：1.若a1,a2,am线性无关，则只有当k1=k2=km=0时，才有：,对于任一向量组不是线性相关的，就是线性无关的。,3.向量组只包含一个向量时，若a=0，则说a是线性相关的，若a0，则说a是线性无关的。,4.包含零向量的任何向量组是线性相关的。,5.对于包含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线。三个向量相关的几何意义是三向量共面。,向量组a1,a2,am(当m2时)线性相关的充分必要条件是a1,a2,am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示,证明,充分性,设a1,a2,am中有一个向量（比如am）能由其余向量线性表示.,即有,二、线性相关性的判定,故,因1,2,m-1,（-1）这m个数不全为0，,故a1,a2,am线性相关.,必要性,设a1,a2,am线性相关，,则有不全为0的数k1,k2,km使,因k1,k2,km中至少有一个不为0，,不妨设k10，则有,即a1能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理4,下面举例说明定理的应用.,证明（略）(可通过齐次线性方程组的解的情况得到。),解,例4,解,例5,分析,证,定理5,证明,说明,说明,例7设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明：,证(1)因a2,a3,a4线性无关，由定理5(1)知，a2,a3线性无关，而a1,a2,a3线性相关，由定理5（4）知a1能由a2,a3线性表示。,(2)用反证法假设a4能由a1,a2,a3线性表示，而由(1)知，a1能由a2,a3线性表示，因此a4能由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。,(1)a1能由a2,a3线性表示；(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示。,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判
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